Ֆոընկցիայի փոփոխման ընթացքն ուսումնասիրելիս առաջին հերթին հարց է ծագում այն պայմանների մասին, որոնց առկայության դեպքում ֆունկցիան տվյալ միջակայքում պահպանում է հաստատուն արժեք կամ փոփոխվում է մոնոտոն։

Թեորեմա։ Դիցուք f(x) ֆունկցիան վորոշված է X միջակայքում (որը կարող է լինել փակ կամ բաց, վերջավոր կամ անվերջ) և նրա ներսը ունի f'(x) վերջավոր ածանցյալ, իսկ ծայրակետերում (եթե դրանք պատկանում է X-ին) պահպանում է անընդհատությունը։ X միջակայքում f(x) ֆունկցիայի հաստատուն լինելու համար բավական է հետևյալ պայմանը՝ f'(x)=0 X-ի ներսում։

Ապացուցում։ Դիցուք այդ պայմանը տեղի ունի։ X միջակայքից մի x0 կետ սևեռենք և վերցնենք մի այլ ցանկացած x կետ։ [x0, x] կամ [x, x0] միջակայքի համար բավարարված են Լագրանժի թեորեմայի բոլոր պայմանները․ ուստի կարող ենք գրել՝

f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0),

որտեղ c-ն գտնվում է x0-ի և x-ի միջև, ուստի և կանխահայտորեն գտնվում է X-ի ներսում։ Սակայն, պայմանի համաձայն, f'(c)=0, այնպես որ X-ին պատկանող բոլոր x-երի համար

f(x)=f(x0)= const,

և մեր պնդումն ապացուցված է։

Նկատենք, որ ձևակերպված պայմանը, ակներևորեն, նաև անհրաժեշտ է ֆունկցիայի հաստատուն լինելու համար։

Ինտեգրալ հաշվում կարևոր կիրառություն ունի այստեղից բխող հետևյալ պարզ հետևանքը․

Հետևանք։ Դիցուք f(x) և g(x) երկու ֆունկցիաները որոշված են X միջակայքում և նրա ներսը ունեն f'(x) և g'(x) վերջավոր ածանցյալներ, իսկ ծայրակետերում (եթե դրանք պատկանում են X-ին) պահպանում են անընդհատությունը։

Եթե այդ ժամանակ

f'(x)=g'(x)

X-ի ներսում, ապա ողջ X միջակայքում այդ ֆունկցիաները կտարբերվեն միայն հաստատունով՝

f(x)=g(x)+C (C=const):

Ապացուցման համար բավական է թեորեման կիրառել f(x)-g(x) տարբերության նկատմամբ․ քանի որ նրա ածանցյալը X-ի ներսը զրո է դառնում, ապա ինքը՝ տարբերությունը X միջակայքում հաստատուն կլինի։

Դիտողություն։ Ապացուցած թեորեմայի նշանակությունը երևան է գալիս տեսական հետազոտությունների ժամանակ և ընդհանրապես այն դեպքերում, երբ ֆունկցիան տրված է լինում այնպես, որ նրա որոշումից անմիջապես չի հետևում, որ նա պահպանում է հաստատուն արժեք։ Այդպիսի դեպքեր հետագայում մեզ շատ կպատահեն։

Կիսվեք ընկերների հետ

 

Օգտագործվում են uKit ծառայություններ