Այժմ պարզենք, թե ֆունկցիայի ածանցյալի միջոցով ինչպես կարելի է դատել ֆունկցիայի իր աճման (նվազման) մասին տվյալ միջակայքում։

Թեորեմա։ Դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված է X միջակայքում և նրա ներսը ունի f'(x) վերջավոր ածանցյալ, իսկ ծայրակետերում (եթե դրանք պատկանում են X-ին) պահպանում է անընդհատությունը։ Որպեսզի f(x)-ը X միջակայքում նեղ իմաստով մոնոտոն աճող (նվազող) լինի, բավական է հետևյալ պայմանը՝

f'(x)>0 (<0) X-ի ներսում։

Ապացուցումը կատարենք աճման դեպքի համար։ Դիցուք այդ դեպքի համար նշված պայմանը կատարված է։ X միջակայքից վերցնենք երկու x' և x'' արժեքներ (x'<x'') և [x', x''] միջակայքում f(x) ֆունկցիայի նկատմամբ կիրառենք Լագրանժի բանաձևը՝

f(x'')-f(x')=f'(x)(x''-x') որտեղ (x'<c<x''):

Քանի որ f'(c)>0, ապա

f(x'')>f(x')

և f(x) ֆունկցիան կլինի խիստ իմաստով աճող։

Այս անգամ ձևակերպված պայմանն արդեն ոչ լրիվ իմաստով է անհրաժեշտ։ Թեորեմայի պնդումն իր ուժը պահպանում է, օրինակ, նաև այն դեպքում, երբ f'(x) ածանցյալը զրո է դառնում x միջակայքի ներսը գտնվող վերջավոր թվով կետերում։ Դրանում հեշտ է համոզվել, եթե թեորեման կիրառենք հիմնական միջակայքի յուրաքանչյուր մասի նկատմամբ առանձին, որոնց նա տրոհվում է այդ կետերով։

Ածանցյալի նշանի և ֆունկցիայի փոփոխման ուղղության միջև ստացված կապը երկրաչափորեն միանգամայն ակներև կլինի, եթե վերհիշենք, որ ածանցյալն իրենից ներկայացնում է ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողի անկյունային գործակիցը։ Այդ անկյունային գործակցի նշանը ցույց է տալիս, թե շոշափողը թեքված է դեպի վերև, թե դեպի ներքև և սրա հետ միասին նաև ինքը՝ կորը գտնվում է դեպի վերև, թե դեպի ներքև (գծագիր 42):

Սակայն առանձին դեպքերում շոշափողը կարող է լինել նաև հորիզոնական, որը համապատասխանում է ածանցյալի զրո դառնալուն։