Այսպես, ուրեմն, դիցուք x0 կետը «կասկածելի է» f(x) ֆունկցիայի էքստրեմումի տեսակետից։

Ենթադրենք, թե x0 կետի մի որոշ (x0 -δ, x0 +δ) շրջակայքում (գոնե x≠x0 համար) գոյություն ունի f'(x) վերջավոր ածանցյալ և ինչպես x0-ից ձախ, նույնպես և x0-ից աջ (առանձին-առանձին) այդ ածանցյալը պահպանում է որոշակի նշան։ Այդ ժամանակ հնարավոր են հետևյալ երեք դեպքերը՝

I f'(x)>0, երբ x<x0 և f'(x)<0 երբ x>x0, այսինքն՝ x0 կետով անցնելիս f'(x) ածանցյալը նշանը փոխում է դրականից բացասականի։ Այս դեպքում [x0-δ, x0] միջակայքում ֆունկցիան աճում է, իսկ [x0, x0 +δ] միջակայքում նվազում, այնպես որ f(x0) արժեքը կլինի մեծագույնը [x0-δ, x0+δ] միջակայքում, այսինքն՝ x0 կետում ֆունկցիան ունի մաքսիմում։

II. f'(x)<0, երբ x<x0 և f'(x)>0, երբ x>x0, այսինքն՝ x0 կետով անցնելիս f'(x) ածանցյալը նշանը փոխում է բացասականից դրականի։ Այս անգամ նույն ձևով համոզվում ենք, որ x0 կետում ֆունկցիան ունի մինիմում։

III. f'(x)>0 ինչպես x0<x, նույնպես և x0>x արժեքների համար, կամ թե՝ f'(x)<0 բոլոր արժեքների համար, այսինքն՝ x0 կետով անցնելիս f'(x)-ը նշանը չի փոխում։ Այդ ժամանակ ֆունկցիան կամ միշտ աճում է, կամ միշտ նվազում․ x0 կետի ցանկացած մոտակայքում մի կողմից կգտնվեն այնպիսի x կետեր, որտեղ f(x)<f(x0), իսկ մյուս կողմից՝ այնպիսի x հետեր, որտեղ f(x)>f(x0), այնպես որ՝ x0 կետում ոչ մի էքստրեմում չկա։

Այսպիսով, մենք ստանում ենք x0 «կասկածելի» արժեքն ստուգելու առաջին կանոնը․ f'(x) ածանցյալի մեջ տեղադրելով նախ x<x0 և ապա՝ x>x0 արժեքներ, որոշում ենք ածանցյալի նշանը x0-ի մոտակայքում՝ x0-ից դեպի ձախ և դեպի աջ․ եթե այդ ժամանակ f'(x)-ը նշանը փոխում է դրականից բացասականի, ապա առկա է մաքսիմում, իսկ եթե նշանը փոխում է բացասականից դրականի, ապա առկա է մինիմում, իսկ եթե նշանը չի փոխում, ապա էքստրեմում չկա։

Այժմ բնութագրենք ֆունկցիաների այն դասը, որի նկատմամբ մենք կիրառելու ենք այդ կանոնը։ f(x) ֆունկցիան ենթադրում ենք անընդհատ [a, b] միջակայքում և այնտեղ f'(x) անընդհատ ածանցյալ ունեցող, բացառությամբ, թերևս, վերջավոր թվով կետերից։ Այդ կետերում f'(x) ածանցյալը ինչպես ձախից, այնպես էլ աջից ձգտում է անվերջ սահմանների՝ նույն կամ հակադիր նշաններով․ առաջին դեպքում գոյություն ունի երկկողմյան անվերջ ածանցյալ, իսկ երկրորդ դեպքում՝ նշաններով տարբեր միակողմյան ածանցյալներ։ Վերջապես, ընդունենք նաև, որ ածանցյալը զրո է դառնում միայն վերջավոր թվով կետերում։ Էքստրեմումի համար «կասկածելի» կետերի վերաբերյալ տարբեր հնարավորությունները գրաֆիկորեն պատկերված են գծագիր 44-ում։


Նշենք, որ բ, գ, դ դեպքերում կորը հատում է շոշափողը, նրա մի կետից մյուսին անցնելով․ այդպիսի դեպքերում, ինչպես ասում են, կորը շրջում ունի։

Դիտարկվող դասին պատկանող ֆունկցիաների համար բերված կանոնը լիովին որոշում է մեզ հետաքրքրող հարցը։ Բանը նրանումն է, որ այդպիսի ֆունկցիայի համար (a, b) միջակայքում միայն վերջավոր թվով են ստացիոնար կետերը և այնպիսի կետերը, որտեղ վերջավոր ածանցյալ չկա՝

\[a<x_1<x_2<...<x_k<x_{k+1}<...<x_{n-1}<b\]

և այդ կետերով կազմված

\[(a, x_1), (x_1, x_2), …, (x_k, x_{k+1}), …, (x_{n-1}, b) \]

միջակայքերից յուրաքանչյուրում f'(x) ածանցյալը նշանը պահպանում է։ Իրոք, եթե f'(x)-ը նշանը փոխեր, օրինակ, (xk, xk+1) միջակայքում, ապա, f'(x)-ի անընդհատության շնորհիվ, որ մենք ենթադրել էինք, Բոլցանոյի-Կոշիի թեորեմայի համաձայն, նա պետք է զրո դառնար xk-ի և xk+1-ի միջև գտնվող մի որոշ կետում, որն անհնար է, քանի որ ածանցյալի բոլոր արմատներն արդեն գտնվում են կետերի

\[a<x_1<x_2<...<x_k<x_{k+1}<...<x_{n-1}<b\]

շարքում։

Ըստ III թեորեմայի

\[(a, x_1), (x_1, x_2), …, (x_k, x_{k+1}), …, (x_{n-1}, b) \]

միջակայքերից յուրաքանչյուրում ֆունկցիան խիստ մոնոտոն է փոփոխվում։

Դիտողություն։ Թեպետև ֆունկցիաների նշված դասն իր մեջ ընդգրկում է գործնականորեն հետաքրքրություն ներկայացնող բոլոր դեպքերը, այնուամենայնիվ օգտակար է նկատի ունենալ, որ կարող են այնպիսի դեպքեր լինել, երբ «կասկածելի» արժեքների հետազոտման մեր կանոնը անկիրառելի է։

Կիսվեք ընկերների հետ

 

Օգտագործվում են uKit ծառայություններ