Մենք այստեղ սահմանային անցումը կօգտագործենք մի նոր, մինչև այժմ մեզ չպատահած, թիվ որոնելու համար։ Այն բացառիկ կարևոր նշանակություն ունի ինչպես անալիզում, այնպես էլ նրա կիրառությունների համար։

Վերցնենք հետևյալ փոփոխականը՝


\[x_n = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\]

և փորձենք նրա նկատմամբ կիրառել մոնոտոն հաջորդականության մասին թեորեման։

Քանի որ n ցուցիչի աճման հետ միասին աստիճանի հիմքը նվազում է, ապա փոփոխականի «մոնոտոն» բնույթն այստեղ անմիջապես չի երևում։ Որպեսզի համոզվենք, որ նա իրոք մոնոտոն է, դիմենք երկանդամի բանաձևին`

\[x_n = \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + n⋅\frac1n + \frac{n(n-1)}{1⋅2}⋅\frac1{n^2}+\]

\[+ \frac{n(n-1)(n-2)}{1⋅2⋅3}⋅\frac1{n^3}+...+\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{1⋅2⋅3⋅...⋅k}⋅\frac1{n^k}+...\]

\[...+\frac{n(n-1)...(n-n+1)}{1⋅2⋅3⋅...⋅n}⋅\frac{1}{n^n}=1+1+\frac1{2!}\left( 1-\frac1n \right)+\]

\[+\frac1{3!}\left(1-\frac1n \right)\left( 1-\frac2n\right)+...+\frac1{k!}\left(1-\frac1n \right)\left( 1-\frac2n\right)...\]

\[...\left(1-\frac{k-1}n\right)+...+\frac1{n!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1-\frac{2}n\right)...\left(1-\frac{n-1}n\right):\]

Եթե xn-ից անցնենք xn+1-ին,  այսինքն՝ n-ը մեծացնենք մեկ միավորով, ապա, նախ, կավելանա մի նոր, (n+2)-րդ անդամ (դրական), և, բացի այդ, արդեն գրված (n+1) անդամներից ամեն մեկը կմեծանա, որովհետև փակագծերում գրված 1- s/n յուրաքանչյուր բազմապատկիչ կփոխարինվի իրենից մեծ

\[1-\frac s{n+1}\]
բազմապատկիչով։ Այսպիսով, ստացվում է, որ

\[x_{n+1}>x_n\]

այսինքն՝ xn փոփոխականն աճող է։

Այժմ ցունց տանք, որ վերևից սահմանափակ է։ xn-ի համար վերը ստացված արտահայտությունում դեն նետելով փակագծերում գրված բոլոր արտադրիչները, մենք այդ արտահայտությունը կմեծացնենք, այնպես որ՝

\[x_n < 2 + \frac 1{2!} + \frac 1{3!}+...  + \frac 1{n!}=y_n\]

Այս արտահայտության մեջ բոլոր հայտարարներում բոլոր արտադրիչներն, սկսած 3-ից, փոխարինենք 2-ով, մենք նորից կմեծացնենք այդ արտահայտությունը՝

\[y_n < 2+\frac12 + \frac1{2^2}+...+\frac 1{2^{n-1}}:\]

Սակայն 1/2 անդամից սկսվող պրոգրեսիան ունի 1-ից փոքր գումար, ուստի yn<3, նշանակում է առավել ևս xn<3:

Այստեղից էլ հետևում է, մոնոտոն հաջորդականության զուգամիտության թեորեմայի համաձայն, որ xn փոփոխականը վերջավոր սահման ունի։ Էյլերի օրինակով այդ սահմանը միշտ նշանակում են e տառով։

\[e=\lim_{n \to +\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n :\]

Մենք ի նկատի ունենք հենց այս թիվը։ Ահա այդ թվի տասնորդական վերլուծության սկզբի 15 թվանշանները՝

e=2.7 1828 18284 59045...:

Կիսվեք ընկերների հետ

 

Օգտագործվում են uKit ծառայություններ