Ենթադրենք, թե մի որևէ հարցի հետազոտության ընթացքում միաժամանակ դիտարկվում են մի շարք անվերջ փոքր մեծություններ՝

α, β, γ, ․․․

որոնք, ընդհանրապես կլինեն ֆունկցիաներ միևնույն փոփոխականի, ասենք x-ի, որը ձգտում է a վերջավոր կամ անվերջ սահմանին։

Շատ դեպքերում հետաքրքրություն է ներկայացնում վերոհիշյալ անվերջ փոքրերի բաղդատումն իրար հետ՝ ըստ նրանց զրոյի ձգտելու բնույթի։ α և β երկու անվերջ փոքրերի բաղդատման հիմքում դրվում է նրանց հարաբերության վարքը: (Մենք ընդունում ենք, որ այն փոփոխականը, որի վրա մենք բաժանում ենք, զրո չի դառնում, գոնե a-ին բավականաչափ մոտ գտնվող x-ի արժեքների համար։) Այս առիթով ընդունենք երկու պայման, այն է՝

1․ Եթե β/α (նրա հետ նաև α/β) հարաբերությունը ունի վերջավոր և զրոյից տարբեր սահման, ապա α և β անվերջ փոքրերը համարվում են միևնույն կարգի մեծություններ։

2․ Իսկ եթե β/α հարաբերությունը ձգտում է զրոյի (իսկ α/β հարաբերությունը՝ ∞) ապա β անվերջ փոքրը համարվում է ավելի բարձր կարգի մեծություն, քան α անվերջ փոքրը և միաժամանակ α անվերջ փոքրը կլինի ավելի ցածր կարգի, քան β անվերջ փոքրը։

Օրինակ, երբ α=x->0, ապա այս անվերջ փոքրի նկատմամբ նույն կարգի անվերջ փոքր կլինեն նաև՝

\[sin x, tg x, \sqrt{1+x}-1\]

մեծությունները, որովհետև ինչպես գիտենք

\[ \lim_{x \to 0} \frac{sin x}x =1, \lim_{x \to 0} \frac{tg x}x =1, \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}x =\frac12\]

Ընդհակառակը,

\[1 - cos x, tg x – sin x\]

անվերջ փոքրերը, ակներևաբար, կլինեն ավելի բարձր կարգի, քան x-ը։

Իհարկե, կարող է պատահել, որ երկու անվերջ փոքրերի հարաբերությունը ոչ մի սահմանի չձգտի, չլինելով նաև անվերջ մեծ․ օրինակ, եթե վերցնենք

\[ α=x, β= x sin\frac1x,\]

ապա նրանց հարաբերությունը, որը հավասար է sin 1/x-ի, սահման չունի, երբ x->0: Այդ դեպքում ասում են, որ երկու անվերջ փոքրերը իրար հետ անբաղդատելի են։ Նշենք, որ երբ β անվերջ փոքրն ավելի բարձր կարգի է, քան α անվերջ փոքրը, այդ փաստը գրում են այսպես՝

β= o(α):

Օրինակ, կարելի է գրել՝

\[1-cosx = o(x), tg x – sin x = o(x)\]

և այլն։ Այսպիսով, α-ից ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքրերի ընդհանուր նշանակման համար օգտագործվում է o(α) պայմանանշանը (սիմվոլը)։ Հետագայում մենք կօգտվենք այս հարմար նշանակումից։

Կիսվեք ընկերների հետ

 

Օգտագործվում են uKit ծառայություններ