Եթե P(x)-ը n-րդ աստիճանի ամբողջ բազմանդամ է՝


\[p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n,\]

ապա այդ բազմանդամը հաջորդաբար n անգամ դիֆերենցելով, կստանանք՝
\[p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1},\]

\[p''(x)=1 \cdot 2 \cdot a_2 + 2 \cdot 3 \cdot a_3x +...+(n-1)n \cdot a_nx^{n-2},\]

\[p'''(x)=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot a_3 + … + (n-2)(n-1)n \cdot a_n x^{n-3},\]

\[......................................................\]

\[p^{(n)}(x) = 1 \cdot 2 \cdot 3 … n \cdot a_n:\]

Այդ բոլոր բանաձևերի մեջ ընդունելով x=0, կստանանք բազմանդամի գործակիցներն՝ արտահայտված բազմանդամի ու նրա ածանցյալների արժեքներով x=0 կետում՝
\[a_0 = p(0), \quad a_1 = \frac{p'(0)}{1!} \quad a_2 = \frac{p''(0)}{2!},\]

\[a_3 = \frac{p'''(0)}{3!}, …, \quad a_n = \frac{p^{(n)}(0)}{n!}:\]

Գործակիցների այս արժեքները տեղադրենք բազմանդամի արտահայտության մեջ՝
\[p(x)=p(0)+\frac{p'(0)}{1!}x + \frac{p''(0)}{2!}x^2+\frac{p'''(0)}{3!}x^3 +...+ \frac{p^{(n)}(0)}{n!}x^n:\]

Այս բանաձևը
\[p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n\]

բանաձևից տարբերվում է գործակիցների գրության ձևով։

Բազմանդամները x-ի աստիճաններով վերլուծելու փոխարեն կարելի է վերցնել նրա վերլուծումը (x-x0)-ի աստիճաններով, որտեղ x0-ն x-ի որևէ մասնավոր հաստատուն արժեք է։ Այսպես՝

\[p(x)=A_0 + A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)^2+A_3(x-x_0)^3+ ...+A_n(x-x_0)^n:\]

Ընդունելով
\[x-x_0 = ξ, \quad p(x)=p(x_0 + \xi )= P(\xi ),\]

\[P(\xi )= A_0 + a_1\xi + A_2 {\xi}^2+A_3 \xi ^3 + ...+A_n {\xi}^n\]

բազմանդամի գործակիցների համար, ըստ ապացուցվածի, կունենանք հետևյալ արտակայտությունը՝
\[A_0 = P(0), \quad A_1=\frac{P'(0)}{1!}, \quad A_3=\frac{P''(0)}{2!}\]

\[A_3=\frac{P'''(0)}{3!},..., \quad A_n=\frac{P^{(n)}(0)}{n!}\]

Սակայն՝
\[P( \xi )=p(x_0 + \xi ), \quad P'( \xi ) = p'(x_0 + \xi )\]

\[P'''( \xi ) = p'''(x_0 + \xi ), ...\]

ուստի՝
\[P(0)=p(x_0), \quad P'(0)=p'(x_0), \quad P''(0)=p''(x_0), ...\]

և՝
\[A_0=p(x_0), \quad A_1=\frac{p'(x_0)}{1!}, \quad A_2=\frac{p''(x_0)}{2!},\]

\[\quad A_3=\frac{p'''(x_0)}{3!},...\quad A_n=\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!},\]

այսինքն՝
\[p(x)=A_0 + A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)^2+A_3(x-x_0)^3+ ...+A_n(x-x_0)^n:\]

վերլուծության գործակիցներն արտահայտվեցին բազմանդամի ու նրա ածանցյալների արժեքներով x=x0 կետում։
\[A_0=p(x_0), \quad A_1=\frac{p'(x_0)}{1!}, \quad A_2=\frac{p''(x_0)}{2!},\]

\[\quad A_3=\frac{p'''(x_0)}{3!},...\quad A_n=\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!},\]

արտահայտությունը տողադրելով
\[p(x)=A_0 + A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)^2+A_3(x-x_0)^3+ ...+A_n(x-x_0)^n:\]

արտահայտության մեջ, կստանանք՝
\[p(x)=p(x_0) + \frac{p'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{p''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{p'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n:\]

Այս բանաձևը, ինչպես նաև մեր դիտարկած x0=0 դեպքը կոչվում է Թեյլորի բանաձև։ Ի դեպ, x0=0 դեպքում ստացված արդյունքը սովորաբար Մակլորենի բանաձև են անվանում։

Հայտնի է, թե ինչպիսի կարևոր կիրառություններ ունի այս բանաձևը հանրահաշվի մեջ։

Անենք (հետագայի համար օգտակար) ակներև մի դիտողություն․ Եթե p(x) բազմանդամը ներկայացվում է

\[p(x)=p(c_0) + \frac{c_1}{1!}(x-x_0)+\frac{c_2}{2!}(x-x_0)^2+\frac{c_3}{3!}(x-x_0)^3+...+\frac{c_n}{n!}(x-x_0)^n:\]

տեսքով, ապա անհրաժեշտաբար՝
\[p(x_0)=c_0, \quad p'(x_0)=c_1, \quad p''(x_0)=c_2,..., p^{(n)}(x_0)=c_n:\]