Մենք ի նկատի ունենք այնպիսի ներկայացումը, որի ժամանակ կոտորակային մասը (մանտիսան) դրական է, մինչդեռ ամբողջ մասը կարող է ինչպես դրական լինել, այնպես էլ՝ բացասական կամ զրո։

Նախ ենթադրենք, որ դիտարկվող a իրական թիվը ոչ ամբողջ է, ոչ էլ վերջավոր տասնորդական կոտորակ։ Փնտրենք նրա տասնորդական մոտավորությունները։ Եթե a թիվը որոշվում է A|A' հատույթով, ապա նախ և առաջ հեշտ է համոզվել, որ A դասում կգտնվի մի M ամբողջ թիվ, իսկ A' դասում՝ նույնպես ամբողջ N թիվ, ընդ որում N>M: Ավելացնելով M թվին մեկական միավորներ, անհրաժեշտաբար կհասնենք իրար հաջորդող այնպիսի C և C+1 ամբողջ թվերի, որ 

C<a<C+1,

Ընդ որում C թիվը կարող է լինել դրական, բացասական կամ զրո։

Այնուհետև, եթե C և C+1 թվերի միջև ընկած միջակայքը

C,1, C,2, ... , C,9

a և b երկու իռացիոնալ թվերը, որոնք համապատասխանաբար որոշվում են A|A' և B|B' հատույթներով, համարվում են իրար հավասար, միմյանց հավասար, եթե այդ հատույթները նույնական են․ ի միջի այլոց, բավական է պահանջել, որ համընկնեն A և B ստորին դասերը, որովհետև այդ ժամանակ A' և B' վերին դասերն իրենք կհամընկնեն։ Այդ սահմանումը կարելի է պահպանել նաև այն դեպքում, երբ a և b թվերը ռացիոնալ են։ Այլ խոսքով, եթե a և b ռացիոնալ թվերն իրար հավասար են, ապա այդ թվերը որոշող հատույթները համընկնում են, և, հակադարձաբար, հատույթների համընկնումից բխում է a և b թվերի հավասարությունը։ Այդ ժամանակ, հասկանալի է, պետք է հաշվի առնել այն պայմանը, որն ընդունել էինք վերևում, ռացիոնալ թվերը հատույթների միջոցով որոշելիս։ Այժմ անցնենք "մեծի" գաղափարի որոշմանն իրական թվերի նկատմամբ։ Ռացիոնալ թվերի համար այդ գաղափարն արդեն հայտնի է դպրոցական դասընթացից։ r ռացիոնալ թվի և a իռացիոնալ թվի համար "մեծի" գաղափարը փաստորեն որոշված է հատույթների սահմանման երկրորդ կետում, այն է՝ եթե a-ն որոշվում է A|A' հատույթով, ապա մենք a-ն մեծ ենք համարում A դասին պատկանող բոլոր ռացիոնալ թվերից, իսկ A' դասին պատկանող բոլոր ռացիոնալ թվերը՝ մեծ են a-ից։

Մենք իռացիոնալ թվերի տեսությունը կշարադրենք, հետևելով Դեդեկենդին: Այդ տեսության հիմքում ընկած է ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ առաջացվող հատույթների գաղափարը: Դիտարկենք բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության տրոհումը երկու ոչ դատարկ (այսինքն՝ իրոք թեկուզ մեկական թիվ պարունակող) A և A' բազմությունների. այլ կերպ ասած, մենք ենթադրում ենք, որ՝

1. Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ ընկնում է A և A' մեկի և միայն մեկի մեջ:

Մենք այդպիսի տրոհումը հատույթ կանվանենք, եթե բավարարվի նաև հետևյալ պայմանը՝

2. A բազմության յուրաքանչյուր a թիվ փոքր է A' բազմության յուրաքանչյուր a' թվից:

A բազմությունը կոչվում է հատույթի ստորին դաս, A' բազմությունը՝ վերին դաս: Հատույթը նշանակելու ենք այսպես՝ A|A':

Ընթերցողը դպրոցական դասընթացից ծանոթ է ռացիոնալ թվերին և նրանց հատկություններին: Միևնույն ժամանակ դպրոցական մաթեմատիկայի ուսումնասիրումից արդեն առաջացնում են ռացիոնալ թվթվերի դաշտի ընդլայնման անհրաժեշտությունը: Իսկապես, ռացիոնալ թվերի շարքում հաճախ արմատ չի հանվում  նույնիսկ ամբողջ դրական (բնական) թվերից, օրինակ `գոյություն չունի այնպիսի ռացիոնալ թիվ, որի քառակուսին հավասար կլինի 2 -ի:

 

Դա ապացուցելու համար մենք ենթադրում ենք հակառակը. Ենթադրենք գոյություն ունի այնպիսի մի p/q կոտորակ (որտեղ p և q թվերը բնական են), որի քառակուսին հավասար լինի 2 –ի։ Մենք իրավունք ունենք այն համարել անկրճատելի, քանի որ կարող ենք այն կրճատել և ազատվել p և q թվերի բաժանարարով։ (p/q)2 = 2 ուրեմն p2=2q2, որից ետևում է, որ p-ն կենտ լինել չի կարող, ուրեմն p-ն զույգ է՝ p=2r, ուրեմն կստացվի q2=2r2: Ստացվում է, որ q – ն նույնպես զույգ թիվ է։ Ստացված հակասությունը ապացուցում է մեր պնդումը։

Կիսվեք ընկերների հետ

 

Օգտագործվում են uKit ծառայություններ