Քանի որ բնական արգումենտի ֆունկցիայի վերաբերյալ թեորեմների ձևակերպումն ու ապացույցն ավելի պարզ են, քան ընդհանուր տեսք ունեցող ֆունկցիայի դեպքում, ուստի մենք միշտ պետք է թեորեմները նախ ձևակերպենք ու ապացուցենք այդ մասնավոր դեպքի համար, և ապա դիտողություններ կանենք դրանք ընդհանուր դեպքի վրա տարածելու վերաբերյալ։


1․ Եթե xn փոփոխականը ձգտում է a սահմանին և a>p (կամ՝ a<q), ապա փոփոխականի բոլոր արժեքները, սկսած մի որոշ արժեքից, նույնպես մեծ կլինեն p-ից (կամ՝ փոքր կլինեն q-ից) ε դրական թիվն ընդունելով այնպես, որ ε<a-p, (կամ՝ ε<q-a), կունենանք՝

a-ε>p (կամ՝ a+ε<q):

Սակայն xn փոփոխականի սահմանի սահմանման համաձայն այդ ε-ին համապատասխան կգտնվի այնպիսի N համար, որ N<n-երի դեպքում կլինի՝

a-ε<xn<a+ε

Այդ նույն արժեքների համար առավել ևս

xn>p (կամ՝ xn<q)

Այս պարզ առաջադրությունը մի շարք մի շարք օգտակար հետևանքներ ունի։

2․ Եթե xn փոփոխականը ձգտում է a>0 (կամ` a<0) սահմանի, ապա ինքը՝ xn փոփոխականը նույնպես >0 (կամ՝ <0), սկսած մի որոշ արժեքից։
Ապացուցելու համար բավական է կիրառել նախորդ առաջադրությունը, ընդունելով՝ p=0 (q=0):

3․ Եթե xn փոփոխականը ձգտում է a սահմանին, միշտ մնալով

xn≤p (կամ՝ xn≥q),

ապա նաև a≤p (կամ՝ a≥q)։

Ապացուցվում է հակասող ենթադրությհամբ, օգտվելով 1-ից։

Հենվելով 1․ առաջադրության վրա, այժմ ապացուցենք սահմանի միակությունը՝

4․ xn փոփոխականը չի կարող միաժամանակ ձգտել երկու տարբեր (վերջավոր) սահմանների։
Իրոք, ենթադրենք հակառակը և թող միաժամանակ xn->a և xn->b, ընդ որում՝ a<b: Վերցնենք a-ի և b-ի միջև մի կամայական թիվ՝

a<r<b:

Քանի որ xn->a և a<r, ուստի կգտնվեր այնպիսի N' համար, որ N'<n-երի համար տեղի կունենար xn<r անհավասարությունը։ Մյուս կողմից, քանի որ xn->b և b>r, ապա կգտնվեր նաև այնպիսի N'' համար, որ N''<n-երի համար կլիներ xn>r։ Եթե n-ը վերցնենք մեծ N'-ից և N''-ից, ապա փոփոխականի համապատասխան xn արժեքը միաժամանակ և մեծ կլինի r-ից, և փոքր, որը հնարավոր չէ։ Այս հակասությունն էլ հենց հաստատում է մեր մնդումը։

5․ Եթե xn փոփոխականը վերջավոր սահման ունի, ապա այն սահմանափակ է այն իմաստով, որ նրա բոլոր արժեքները գտնվում են երկու վերջավոր եզրերի միջև՝

m≤xn≤M (n=1, 2, 3, …)

Ամենից առաջ, սահմանի սահմանումից անմիջապես երևում է, որ, ինչպիսին էլ վերցնենք ε>0 թիվը, կգտնվի այնպիսի N համար, որ N<n-երի դեպքում կլինի՝

a-ε<xn<a+ε։

Այսպիսով, n=N+1,N+2,... համարների համար xn-ի արժեքներն արդեն գտնվում են a-ε և a+ε եզրերի միջև։ Այդ եզրերից դուրս կարող են լինել միայն

x1, x2, x3, .., xN

N հատ արժեքներից մի քանիսը, այսինքն՝ վերջավոր թվով։ Հետևաբար, կարելի է այդ եզրերի փոխարեն վերցնել նոր եզրեր այնպես, որպեսզի նրանց միջև գտնվեն բոլոր xn-երը։ Օրինակի համար, կարելի է որպես m ստորին եզր վերցնել

a-ε, x1, x2, x3 ,.., xN

թվերից փոքրագույնը, իսկ որպես M վերին եզր՝

a+ε, x1, x2, x3,.., xN

թվերից մեծագույնը։

Դիտողություն։ Այստեղից, մասնավորապես, հետևում է, որ վերջավոր սահման ունեցող փոփոխականը չի կարող միաժամանակ ձգտել +∞ կամ -∞։ Այս որոշ չափով լրացնում է սահմանի միակության վերաբերյալ 4-րդ թեորեման։