Ստորև բերվող թեորեմները կարևոր են նրանով, որ նրանց օգնությամբ շատ դեպքերում կարիք չի լինում դիմել սահման գաղափարի սահմանմանը, տվյալ ε-ի համար համապատասխան N-ը գտնելով, և այլն։ Դրանով սահմանների հաշվումն զգալի չափով հեշտանում է։

1) Եթե xn և yn փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn = a, lim yn =b

ապա նրանց գումարը (տարբերությունը) նույնպես սահման ունի, ընդ որում՝

lim(xn+yn)=a+b, lim(xn-yn)=a-b

Թեորեմայի պայմանից հետևում է, որ՝

xn=a+an, yn=b+bn,

որտեղ an-ը և bn-ը անվերջ փոքր են, այդ դեպքում՝

xn+yn=(a+b)+(an+bn), xn-yn=(a-b)+(an-bn):

Այստեղ an+bn (ինչպես նաև an-bn) մեծությունն անվերջ փոքր է 1-ին լեմմայի համաձայն․ հետևաբար կարելի է պնդել, որ xn+yn (xn-yn) փոփոխականն ունի a+b (համապատասխանաբար a-b) սահմանը, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Այս թեորեման ու նրա ապացույցը տարածվում են ցանկացած վերջավոր թվով գումարելիների դեպքի վրա։

2) Եթե փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn=a, lim yn=b

ապա նրանց արտադրյալը նույնպես սահման ունի և

lim xnyn=ab:

Ելնելով նույն xn= a+an, yn=b+bn հավասարություններից, այս անգամ կունենանք

xn+yn=ab+(abn+ban+anbn):

Փակագծերի ներսի արտահայտությունը, 1-ին և 2-րդ լեմմաների շնորհիվ, անվերջ փոքր մեծություն է, որտեղից և հետևում է, որ xnyn փոփոխականն իրոք ունի ab սահմանը։

Այս թեորեման կարելի է տարածել ցանկացած վերջավոր թվով արտադրիչների դեպքի վրա (օրինակ, մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով)։

3) Եթե xn և yn փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn=a, lim yn=b,

ընդ որում b-ն զրոյից տարբեր է, ապա նրանց հարաբերությունը նույնպես սահման ունի և՝

lim xn/yn=a/b:

Դիցուք, օրինակի համար, b>0. Վերցնենք 0-ի և b-ի միջև մի r թիվ։ Այդ ժամանակ, համաձայն 1) թեորեմայի, սկսած մի որոշ համարից, կունենանք՝

yn>r>0

այնպես որ yn-ը հավասար չէ 0-ի։ Սահմանափակվելով n համարի այն արժեքներով, որոնց դեպքում բավարարվում է այդ պայմանը, xn/yn հարաբերությունն իմաստ կունենա։ Այն ժամանակ, դարձյալ ելնելով xn=a+an, yn=b+bn հավասարություններից, կունենանք՝

xn/yn - a/b=(a+an)/(b+bn) - a/b = (1/byn)(ban - abn):

Աջ կողմի փակագծերի ներսի արտահայտությունը, 1-ին և 2-րդ լեմմաների շնորհիվ, անվերջ փոքր մեծություն է, իսկ նրա մոտ գրված բազմապատկիչը, սկզմում ասվածի շնորհիվ, սահմանափակ փոփոխական է՝

0<1/byn<1/br:

Հետևաբար, 2-րդ լեմմայի համաձայն, աջ մասի ամբողջ արտադրյալն անվերջ փոքր մեծություն է։ Սակայն նա xn/yn փոփոխականի և a/b թվի տարբերությունն է, ուրեմն, xn/yn փոփոխականի սահմանը a/b թիվն է, որը և պահանջվում էր ապացուցել։