Այժմ զբաղվենք մի որոշ միջակայքում անընդհատ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունների ուսումնասիրությամբ։ Նաև ինքնին հետաքրքիր այս հատկությունները հետագա շարադրանքի մեջ հաճախ հիմք են ծառայելու զանազան եզրահանգումների համար։

Դրանց խստագույն հիմնավորման ուղու վրա կանգնեց առաջինը Բոլցանոն (1817), այնուհետև Կոշին (1821): Հենց նրանց է պատկանում ստորև բերվող կարևոր թեորեման։

Բոլցանոյի-Կոշիի առաջին թեորեման։ Դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a,b] փակ միջակայքում և այդ միջակայքի ծայրակետերում ընդունում է տարբեր նշաններով արժեքներ։ Այդ դեպքում a-ի և b-ի միջև անպայման կգտնվի այնպիսի c կետ, որտեղ ֆունկցիան դառնում է զրո՝

f(c)=0, (a<c<b):

Այս թեորեման ունի շատ պարզ երկրաչափական իմաստ․ եթե անընդհատ կորը x-երի առանցքի մի կողմից անցնում է մյուս կողմը, ապա նա հատում է այդ առանցքը։

Ապացուցումը մենք կկատարենք միջակայքը հաջորդաբար կիսելու մեթոդով։ Որոշակիության համար ընդունենք, որ f(a)<0, իսկ f(b)>0: [a, b] միջակայքը (a+b)/2 կետով կիսենք։ Կարող է պատահել, որ այդ կետում f(x) ֆունկցիան դառնա զրո․ այդ դեպքում թեորեման ապացուցված է՝ կարելի է ընդունել c=(a+b)/2: Դիցուք այժմ f((a+b)/2)≠0. այդ միջակայքը նշանակելով [a1, b1]-ով, կունենանք՝

f(a1)<0, f(b1)>0:

[a1, b1] միջակայքը կիսենք և նորից մի կողմ թողնենք այն դեպքը, երբ f(x)-ը այդ միջակայքի (a1+b1)/2 կենտրոնում դառնում է զրո, որովհետև այդ դեպքում թեորեման արդեն ապացուցված կլիներ։ [a2, b2] -ով նշանակենք միջակայքերի այն կեսը, որի համար՝

f(a2)<0, f(b2)>0:

Միջակայքեր կառուցելու այս պրոցեսը շարունակենք։ Այդ ժամանակ, կամ վերջավոր թվով քայլերից հետո մենք կստանանք բաժանման այնպիսի կետ, որտեղ ֆունկցիան հավասար է զրոյի, և թեորեմայի ապացույցը կավարտվի, կամ կստանանք ներդրված միջակայքերի անվերջ մի հաջորդականություն։ Կանգ առնենք այս վերջի դեպքի վրա։ Այս դեպքում n-րդ՝ [an, bn] (n=1, 2, 3, …) միջակայքի համար կունենանք՝

f(an)<0, f(bn)>0,

ընդ որում նրա երկարությունը, ակներևաբար, հավասար է

an-bn=(b-a)/2n:

Կառուցված միջակայքերի հաջորդականությունը բավարարում է ներդրյալ միջակայքերի լեմմայի պայմաններին, որովհետև an-bn=(b-a)/2n -ից կստանանք lim(bn-an)=0: Հետևաբար, an և bn երկու փոփոխականները ձգտում են մի ընդհանուր սահմանի՝

lim an= lim bn =c,

որը, ակներևաբար, պատկանում է [a, b]-ին։ Ցույց տանք, որ հենց այդ կետը բավարարում է թեորեմայի պահանջին։

f(an)<0, f(bn)>0 անհավասարությունների մեջ անցնելով սահմանին և միաժամանակ օգտագործելով ֆունկցիայի անընդհատությունը (մասնավորապես, x=c կետում), կստանանք, որ միաժամանակ՝

f(c)= lim f(an) ≤0, f(c)=lim f(bn)≥0,

այնպես որ, իրոք f(c)=0: Թեորեման ապացուցված է։

Նկատենք, որ [a, b] փակ միջակայքում f(x) ֆունկցիայի անընդհատ լինելու պահանջը էական է։ Այն ֆունկցիան, որը թեկուզ մեկ կետում խզում ունի, կարող է բացասական արժեքից անցնել դրական արժեքի նաև առանց 0 դառնալու։ Այդպես կլինի, օրինակ, f(x) = E(x)-1/2 ֆունկցիայի հետ, որը ոչ մի տեղ զրո արժեք չի ընդունում, չնայած f(0)= -1/2, իսկ f(1)= 1/2 (x=1 արժեքի համար ունի ցատկ)։