Մենք ի նկատի ունենք այնպիսի ներկայացումը, որի ժամանակ կոտորակային մասը (մանտիսան) դրական է, մինչդեռ ամբողջ մասը կարող է ինչպես դրական լինել, այնպես էլ՝ բացասական կամ զրո։

Նախ ենթադրենք, որ դիտարկվող a իրական թիվը ոչ ամբողջ է, ոչ էլ վերջավոր տասնորդական կոտորակ։ Փնտրենք նրա տասնորդական մոտավորությունները։ Եթե a թիվը որոշվում է A|A' հատույթով, ապա նախ և առաջ հեշտ է համոզվել, որ A դասում կգտնվի մի M ամբողջ թիվ, իսկ A' դասում՝ նույնպես ամբողջ N թիվ, ընդ որում N>M: Ավելացնելով M թվին մեկական միավորներ, անհրաժեշտաբար կհասնենք իրար հաջորդող այնպիսի C և C+1 ամբողջ թվերի, որ 

C<a<C+1,

Ընդ որում C թիվը կարող է լինել դրական, բացասական կամ զրո։

Այնուհետև, եթե C և C+1 թվերի միջև ընկած միջակայքը

C,1, C,2, ... , C,9

թվերով բաժանել տաս հավասար մասերի, ապա a թիվը կլինի այդ մասնակի միջակայքերից մեկի (և միայն մեկի) մեջ, և մենք կստանանք միմյանցից 1/10 -ով տարբերվող երկու թվեր՝ C,c1 և C,c1 + 1/10, որոնց համար՝

C,c1<a<C,c1 + 1/10:

Այս պրոցեսը շարունակելով, n-1 հատ c1, c2, ..., cn-1 թվանշանները որոշելուց հետո, n-րդ թվանշանը՝ cn -ը կորոշենք 

C,c1c2...cn<a<C,c1c2...cn + 1/10n

անհավասարություններով։

Այսպիսով, a թվի տասնորդական մոտավորությունները գտնելու պրոցեսում մենք կառուցեցինք C ամբողջ թիվն ու c1, c2, ..., cn, ․․․թվանշանների ամբողջ հաջորդականությունը։ Նրանցից կազմած անվերջ տասնորդական կոտորակը, այսինքն՝

C,c1c2...cn...

պայմանանշանը (սիմվոլը) կարելի է դիտարկել իբրև a իրական թվի ներկայացում։ 

Ինչ վերաբերում է այն դեպքին, երբ a  թիվն ինքն ամբողջ  է կամ, ընդհանրապես, վերջավոր տասնորդական կոտորակ է, ապա կարելի է նման եղանակով հաջորդաբար որոշել C ամբողջ թիվն ու c1, c2, ... , cn, ... թվանշանները, սակայն այս անգամ ելնելով

C,c1c2...cn  ≤ a  ≤ C,c1c2...cn + 1/10n

առնչությունից, որն ավելի ընդհանուր է, քան C,c1c2...cn<a<C,c1c2...cn + 1/10n-ը։ Բանը նրանումն է, որ նշված պրոցեսում մի որոշ քայլից հետո a թիվը կհամընկնի այն միջակայքի ծայրերից մեկի հետ, որի մեջ մենք նրան համարում ենք, ձախ կամ աջ ծայրի՝ մեր հայեցողությամբ․ այդ պահից սկսած C,c1c2...cn...  ≤ a  ≤ C,c1c2...cn... + 1/10n-ում, համապատասխանորեն ձախ կամ աջ կողմում, արդեն մշտապես հավասարություն կլինի։ Նայած թե այդ երկու հնարավորություններից որն է իրականում, հաջորդ թվանշանները բոլորը կլինեն 0-ներ կամ 9-եր։ Այսպիսով, a թիվն այս անգամ ներկայացվում է երկակի ձևով, մեկը՝ 0-ի պարբերությամբ, մյուսը՝ 9-ի պարբերությամբ։ Այսպես, օրինակ՝

2,718=2.718000...=2.717999...

 Իրական թվի, պակասորդով և հավելումով վերցրած՝

C,c1c2...cn և C,c1c2...cn + 1/10n

տասնորդական մոտավորությունների տարբերությունը, որը հավասար է 1/10n -ի, n-ի աճման հետ միասին կարելի է դարձնել ցանկացած e>0 ռացիրնալ թվից փոքր։ Իրոք, քանի որ 1/e թիվը չգերազանցող բնական թվեր գոյություն ունեն միայն վերջավոր քանակությամբ, ուստի 10n≤1/e անհավասարությունը կամ նրան համարժեք 1/10n≥e  անհավասարությունը կարող է տեղի ունենալ n-ի միայն վերջավոր թվով արժեքների համար․ մյուս բոլոր արժեքների համար կլինի՝

1/10n<e:

 Այս դիտողությունը 2-րդ լեմմայի շնորհիվ, թույլ է տալիս եզրակացնել, որ a-ից տարբել ոչ մի b թիվ չի կարող բավարարել միևնույն C,c1c2...cn<a<C,c1c2...cn + 1/10n կամ C,c1c2...cn  ≤ a  ≤ C,c1c2...cn... + 1/10n բոլոր անհավասարություններին և, հետևաբար, նա կունենա անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով այլ ներկայացում, քան a-ի ներկայացումն է։

 Այստեղից, մասնավորապես, պարզ երևում է, որ վերջավոր տասնորդական կոտորակից տարբեր թվերի ներկայացումը չունի ոչ զրո պարբերություն, ոչ 9 պարբերություն, քանի որ 0 կամ 9 պարբերությամբ ամեն մի տասնորդական կոտորակ բացահայտորեն վերջավոր տասնորդական կոտորակ է արտահայտում։

Կարելի է ապացուցել, որ, եթե կամայապես վերցնենք C,c1c2...cn․․․ տեսքի մի անվերջ կոտորակ, ապա գոյություն կունենա մի a իրական թիվ, որը կներկայացվի հենց այդ կոտորակով։ Իրոք, բավական է a թիվը կառուցել այնպես, որպեսզի տեղի ունենա C,c1c2...cn  ≤ a  ≤ C,c1c2...cn + 1/10n բոլոր անհավասարությունները։

Այդ նպատակով, կարճ նշանակելով՝

Cn=C,c1c2...cn և C'n=C,c1c2...cn + 1/10n

Կնկատենք, որ յուրաքանչյուր Cn կոտորակ փոքր է յուրաքանչյուր C'm կոտորակից (բոլոր n=m, n>m, n<m դեպքերում): Այժմ հատույթ առաջացնենք ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ, A' վերին դասի մեջ գցելով այնպիսի a' ռացիոնալ թվերը, որոնք բոլոր Cn թվերից մեծ են (օրինակ բոլոր C'n թվերը), իսկ A ստորին դասի մեջ՝ մնացած բոլոր թվերը (օրինակ՝ Cn թվերը)։ Հեշտ է համոզվել, որ այդպիսով իրոք հատույթ է առաջանում։ Այդ հատույթը կորոշի մի a իրական թիվ, որը և կլինի որոնելին։

Իսկապես, քանի որ a -ն սահմանազատիչ թիվ է երկու դասերի միջև, ուստի մասնավորապես՝

Cn ≤ a ≤ C'n

Այսուհետև ընթերցողը կարող է իրական թվերը միշտ պատկերացնել իբրև անվերջ տասնորդական կոտորակներ։ Դպրոցական դասընթացից հայտնի է, որ պարբերական անվերջ տասնորդական կոտորակը պատկերում է ռացիոնալ թիվ և, հակադարձաբար, յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ վերլուծվում է հենց պարբերական կոտորակի։ Այսպիսով, մեր կողմից նոր մուծված իռացիոնալ թվերի պատկերման համար ծառայում են ոչ պարբերական անվերջ կոտորակները։

 Այսպիսի ներկայացումը նույնպես կարող է ելակետ հանդիսանալ իռացիոնալ թվերի տեսությունը կառուցելու համար։

Դիտողություն։ հետագայում մենք կարիք ենք ունենալու օգտվելու a իրական թվի այնպիսի a" և a' մոտավոր արժեքներից՝

a"<a<a'

որոնց տարբերությունը փոքր է կամայապես փոքր վերցրած e>0 ռացիոնալ թվից։ Ռացիոնալ a-ի համար a" և a' թվերի գոյությունն ակներև է։ Իսկ իռացիոնալ a-ի համար որպես a" և a' թվերը կարելի է օրինակի համար, օգտագործել Cn և C'n տասնորդական մոտավորությունները բավականաչափ մեծ n-ի դեպքում։