Ինչպես տեսանք, որպեսզի հաշվենք որևէ ֆունկցիայի n-րդ կարգի ածանցյալը, ընդհանրապես ասած, պետք է նախապես հաշվել բոլոր նախորդ կարգի ածանցյալները։ Սակայն մի շարք դեպքերում հնարավոր է լինում n-րդ կարգի ածանցյալի համար ստանալ այնպիսի ընդհանուր արտահայտություն, որն անմիջապես կախված է n-ից ու այլևս չի պարունակում նախորդ ածանցյալների նշանակումները։

Այդպիսի ընդհանուր արտահայտություններ արտածելիս երբեմն օգտակար են լինում հետևյալ բանաձևերը՝

\[{(c⋅u)}^{(n)}=c⋅u^{(n)} \quad {(u±v)}^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)}\]

որոնք ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնների ընթերցողին հայտնի I և II կանոններն են ընդհանրացված բարձր կարգի ածանցյալների համար։ Դրանք հեշտ է ստանալ այդ կանոնների հաջորդաբար կիրառման միջոցով։

1) Նախ դիտարկենք y=xμ աստիճանային ֆունկցիան, որտեղ μ-ն որևէ իրական թիվ է։ Հաջորդաբար կունենանք՝

\[y'=μx^{μ-1}, \quad y''=μ(μ-1)x^{μ-2}\]

\[y'''=μ(μ-1)(μ-2)x^{μ-3}, ...\]

Այստեղից հեշտ է նկատել նաև ընդհանուր օրենք՝

\[y^{(n)}=μ(μ-1)...(μ-n+1)x^{μ-n}\]

որն ապացուցվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։ Եթե, օրինակ, վերցնենք μ=-1 կստանանք

\[\left( \frac{1}{x} \right)^{(n)}=(-1)(-2)...(-n)x^{-1-n}=\frac{(-1)^n⋅n!}{x^{n+1}}:\]

երբ μ-ն ինքը բնական m թիվ է, ապա xm-ի m-րդ կարգի ածանցյալն արդեն կլինի m! հաստատուն թիվը, իսկ բոլոր հաջորդները՝ զրոներ։ Այստեղից պարզ է, որ m դրական ամբողջ աստիճանի բազմանդամի համար էլ գոյություն ունի նման հանգամանք։

2) Դիցուք այժմ y=ln x: Ամենից առաջ ունենք՝

\[y'=(ln x)'=\frac{1}{x}\]

Սրա երկու մասից վերցնենք (n-1)-րդ կարգի ածանցյալ 1) օրինակի համապատասխան բանաձևի օգնությամբ, վերջինիս մեջ n-ը փոխարինելով (n-1)-ով, կստանանք՝

\[y^{(n)}=(y')^{(n-1)}=\left( \frac{1}{x}\right)^{(n-1)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}:\]

3) եթե y=ax, ապա՝

\[y'=a^x⋅ln a, \quad y''=a^x(ln a)^2, ...\]

իսկ ընդհանուր բանաձևը՝
\[y^{(n)}=a^x⋅(ln a)^n\]

հեշտությամբ ապացուցվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։

Մասնավոր դեպքում, ակներևաբար՝

\[(e^x)^{(n)}=e^x:\]

4) Ընդունենք y=sin x. այդ ժամանակ՝

\[y'=cos x, \quad y''=-sin x, y'''=-cos x, y''''=sin x, y^{(5)}=cos x, ...\]

Այս ճանապարհով n-րդ կարգի ածանցյալի համար ընդհանուր արտահայտություն գտնելը դժվար է։ Սակայն գործն անմիջապես հեշտանում է, եթե առաջին կարգի ածանցյալի համար ատացված բանաձևը գրենք y'=sin(x+π/2) տեսքով․ պարզվում է, որ ամեն մի ածանցումից հետո արգումենտին կգումարվի π/2, ուստի՝

\[(sin x)^{(n)}=sin\left( x+n⋅ \frac{π}{2}\right)\]

5) Կանգ առնենք նաև y=arctg x ֆունկցիայի վրա։ Նախ y(n)-ը արտահայտենք y-ի միջոցով։ x=tg y, ուստի՝

\[y'=\frac{1}{1+x^2}=cos^2y=cosy⋅sin\left( y+\frac{π}{2}\right):\]

Երկրորդ անգամ ածանցելով ըստ x-ի (և հիշելով, որ y-ը x-ի ֆունկցիա է), կստանանք՝

\[y''=\left( -sin y⋅sin \left( y+\frac{π}{2} \right) + cos y⋅cos \left( y+\frac{π}{2} \right) \right) ⋅y'=\]

\[=cos^2y⋅cos\left( 2y+\frac{π}{2}\right)=cos^2y⋅sin2\left( y+\frac{π}{2}\right):\]

Հաջորդ ածանցումը կտա՝

\[y'''=\left( -2sin y⋅cos y⋅sin2\left( y+\frac{π}{2}\right)+2cos^2y⋅cos2\left( y+\frac{π}{2}\right) \right)⋅y'=\]

\[=2cos^3y⋅cos\left( 3y+2⋅\frac{π}{2}\right)=\]

\[=2cos^3y⋅sin3\left( y+\frac{π}{2}\right):\]

Վերջապես,

\[y^{(n)}=(n-1)! \cos ^ny⋅\sin n\left( y+\frac{π}{2}\right):\]

ընդհանուր բանաձևը հիմնավորվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։