Օգտագործելով Դեդեկենդի հիմնական թեորեման սահմանենք մի քանի գաղափարներ, որոնք կարևոր դեր են խաղում ժամանակակից անալիզի մեջ։ Նրանք հարկավոր կլինեն արդեն իսկ իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունների հարցը քննելիս։

Պատկերացնենք թվերի մի կամայական անվերջ բազմություն․ նա կարող է տրված լինել որևէ եղանակով։ Այդպիսի բազմություններ են հանդիսանում, օրինակ, բնական թվերի բազմությունը, բոլոր կանոնավոր կոտորակների բազմությունը, 0-ի և 1-ի միջև գտնվող բոլոր իրական թվերի բազմությունը, sin x = ½ հավասարման բոլոր արմատների բազմությունը, և այլն։

Բազմությանը պատկանող ցանկացած թիվը կնշանակենք x-ով, այնպես, որ x-ը կլինի բազմության թվերի տիպական նշանակումը։ x թվերի բազմությունն ինքը կնշանակենք` X={x}: Եթե դիտարկվող {x} բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի M վերջավոր թիվ, որ բոլոր x-երի համար x M, ապա ասում են, որ տրված բազմությունը վերևից սահմանափակ է (M թվով), և M թիվն անվանում են նրա վերին եզր (верхняя граница)։ Օրինակ, կանոնավոր կոտորակների բազմությունը սահմանափակված է 1 թվով, ինչպես նաև 1-ից մեծ ամեն մի թվով։ Բնական թվերի բազմությունը վերևից սահմանափակված չէ։

Դրան համանման, եթե գոյություն ունի այնպիսի m վերջավոր թիվ, որ բոլոր x-երի համար xm, ապա ասում են, որ {x} բազմությունը վերևից սահմանափակ է (m թվով)։ և m թիվն անվանում են նրա ստորին եզր (нижняя граница)։ Օրինակ, բնական թվերի բազմությունը ներքևից սահմանափակված է մեկ թվով, ինչպես նաև 1-ից փոքր ամեն մի թվով։ Բոլոր կանոնավոր կոտորակների բազմությունը ներքևից սահմանափակված է 0 թվով, ինչպես նաև 0-ից փոքր ցանկացած թվով։

Վերևից (ներքևից) սահմանափակված բազմությունը կարող է սահմանափակ լինել նաև վերևից (համապատասխանաբար ներքևից) կամ ոչ։ Այսպես, օրինակ, կանոնավոր կոտորակների բազմությունը սահմանափակ է և վերևից, և ներքևից, իսկ բնական թվերի բազմությունը ներքևից սահմանափակ է, բայց վերևից՝ ոչ։

Եթե բազմությունը վերևից (ներքևից) սահմանափակ չէ, ապա նրա համար իբրև վերին (ստորին) եզր ընդունում են + (համապատասխանաբար -) “անիսկական թիվը”։ Այդ անիսկական թվերինկատմամբ ընդունում ենք, որ

-∞<+∞ և -∞<a<+

ինչպիսին էլ լինի a իրական (“վերջավոր”) թիվը։

Եթե բազմությունը վերևից սահմանափակ է, այսինքն՝ ունի M վերջավոր վերին եզր, ապա նա միառժամանակ ունի անվերջ թվով վերին եզրեր, քանի որ M-ից մեծ ամեն մի թիվ նույնպես կլինի նրա համար վերին եզր։ Բոլոր վերին եզրերի մեջ հատկապես կարևոր է նրանցից փոքրագույնը, որը մենք կանվանենք վերին ճշգրիտ եզր։ Նման ձևով, եթե բազմությունը ներքևից սահմանափակ է, ապա նրա ստորին եզրերից մեծագույնը կանվանենք ստորին ճշգրիտ եզր։ Այսպես, օրինակ, բոլոր կանոնավոր կոտորակների բազմության համար ճշգրիտ եզրեր կլինեն, համապատասխանաբար, 1 և 0 թղերը։

Հարց է ծագում, թե այդյոք վերևից (ներքևից) սահմանափակ բազմության համար միշտ գոյություն ունի վերին (ստորին) ճշգրիտ եզր։ Իսկապես, քանի որ այդ դեպքում անվերջ թվով վերին (ստորին) եզրեր կան, իսկ թվերի անվերջ բազմության մեջ ոչ միշտ գոյություն ունի ամենափոքրը կամ ամենամեծը, ապա տվյալ բազմության բոլոր վերին (ստորին) եզրերի մեջ ամենափոքրի (ամենամեծի) գոյությունը ապացույց է պահանջում։

Թեորեմ։ Եթե X={x} բազմությունը վերևրց (ներքևից) սահմանափակ է, ապա նա ունի վերին (ստորին) ճշգրիտ եզր։

Ապացույց։ Ապացույցը բերենք վերին եզրի վերավերյալ։ Քննության առնենք երկու դեպք․

1․ նախ ենթադրենք, թե X բազմության x թվերի մեջ կա ամենամեծ x՛ թիվը։ Այդ դեպքում բազմության բոլոր թվերը կբավարարեն x≤x' անհավասարությանը, այսինքն՝ x՛-ը կլինի X-ի համար վերին եզր։ Մյուս կողմից, քանի որ x'-ը պատկանում է X-ին, ապա վերջինիս ամեն մի M վերին եզրի համար տեղի ունի x'≤ M անհավասարությունը։ Այստեղից եզրակացնում ենք, որ x-ը X բազմության համար վերին ճշգրիտ եզր է։

2․ Դիցուք այժմ X բազմության x թվերի մեջ չկա ամենամեծը։ Բոլոր իրական թվերի բազմության մեջ հատույթ առաջացնենք հետևյալ ձևով․ A' վերին դասի մեջ գցենք X բազմության բոլոր a' վերին եզրերը, իսկ A ստորին դասի մեջ՝ մնացած բոլոր a իրական թվերը։ Այդ տրոհման ժամանակ X բազմության բոլոր x թվերը կընկնեն A դասի մեջ, քանի որ նրանցից ոչ մեկը, պայմանի համաձայն, ամենամեծը չէ։ Այդպիսով, A և A' դասերից ոչ մեկը դատարկ չէ։ Այդպիսի տրոհումն իրոք հատույթ է առաջացնում, քանի որ բոլոր իրական թվերը բաշխվում են երկու դասի, և A' դասի յուրաքանչյուր մեծ է A դասի ամեն մի թվից։ Դեդեկենդի հիմնական թեորեմի համաձայն, պետք է գոյություն ունենա այդ հատույթն առաջացնող b իրական թիվ։ Բոլոր x թվերը, իբրև A դասին պատկանող թվեր, չեն գերազանցում այդ b սահմանազատիչ թիվը, այսինքն b-ն x-երի համար ծառայում է վերին եզր և, հետևաբար, պատկանում է A' դասին ու այնտեղ ամենափոքրն է։ Այդպիսով, b-ն իբրև բոլոր վերին դասերի մեջ փոքրադույնը, հենց կլինի X={x} բազմության վերին ճշգրիտ եզրը։

Ճիշտ նման եղանակով ապացուցվում է թեորեմայի նաև երկրորդ մասը, որը վերաբերվում է ստորին ճշգրիտ եզրի գոյությանը։

Եթե M*-ը X={x} բազմության վերին ճշգրիտ եզրն է, ապա բելոր x-երի համար կլինի՝

xM*

Այժմ վերցնենք M*-ից փոքր մի կամայական a թիվ։ Քանի որ M* -ը վերին եզրերի մեջ փաքրագույնն է, ուստի նրանից փոքր a թիվը, անկասկած, վերին եզր չի լինի X բազմության համար, այսինքն՝ X բազմության մեջ կգտնվի այնպիսի x' թիվ, որ՝

x'>a:

Այդ երկու անհավասարություններով լիովին բնորոշվում է X բազմության M* վերին ճշգրիտ եզրը։ Այսինքն՝ M*-ը կլինի X={x} բազմության վերին ճշգրիտ եզրը, եթե ամեն մի x-ի համար

xM*

և M*-ից փոքր ցանկացած a թվի համար X բազմության մեջ կգտնվի այնպիսի x' թիվ, որ

x'>a։

Ճիշտ այդպես էլ m*-ը կլինի X={x} բազմության ստորին ճշգրիտ եզրը, եթե ամեն մի x-ի համար

x≥m*

և m*-ից մեծ ցանկացած b թվի համար X բազմության մեջ կգտնվի այնպիսի x'' թիվ, որ

x''<b

X={x} բազմության վերին և ստորին ճշգրիտ եզրերի համար ընդունված է հետևյալ նշանակումները՝

M* = sup X = sup{x}

m*= inf X = inf{x}

(լատիներեն` supremum – բարձրագույն, infremum – ցածրագույն)։

Նշենք մի ակնհայտ եզրակացություն, որը հետագայում հաճախ է օգտագործվելու․

Եթե {x} բազմության բոլոր x թվերը բավարարում են x≤ M անհավասարությանը, ապա նաև sup{x}≤M:

Իրոք, պայմանից բխում է, որ M-ն այդ բազմության վերին եզրերից մեկն է, ուստի և բոլոր վերին եզրերի մեջ փոքրագույնը չի կարող նրանից մեծ լինել։

Նմանապես, x≥m անհավասարությունից հետևում է, որ նաև inf{x}≥ m:

Վերջապես, եթե X={x} բազմությունը վերևից սահմանափակ չէ, պայմանավորվում ենք ասել, որ նրա վերին ճշգրիտ եզրն է +։ Ինչպես նաև, եթե բազմությունը ներքևից սահմանափակ չէ, կասենք, որ նրա ճշգրիտ ստորին եզրն է -∞ -ը՝ inf{x}=-∞ :