Իրական թվերի բազմապատկման (բաժանման) սահմանումը մեզ անմիջապես հանգեցնում է, ինչպես սովորաբար, ինչպես սովորաբար, ամբողջ դրական (և բացասական) ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը։ Անցնելով ընդհանրապես ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի գաղափարին, կանգ առնենք նախ արմատի գոյության հարցի վրա։

Ինչպես մենք հիշում ենք, ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ պարզագույն արմատների բացակայությունը այդ բազմության ընդլայման առիթներից մեկն է եղել։ Այժմ ստուգենք, թե արդյոք կատարված ընդլայնումը ինչ չափով է լրացրել նախկին բացերը(չստեղծելով, իհարկե, նորերը

Դիցուք a-ն ցանկացած իրական թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ է։ Ինչպես հայտնի է, a թվի n-րդ աստիճանի արմատ կոչվում է այնպիսի q իրական թիվը, որի համար՝

qn=a:

Այժմ անցնենք ցանկացած իրական դրական թվի ցանկացած b իրական ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը։ Դիտարկման ենթարկենք a թվի b'' և b' ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանները՝

ab'' և ab',

որտեղ ցուցիչը բավարարում է հետևյալ պայմաններին՝

b''<b<b'

a>1 թվի b ցուցիչով աստիճան անվանում են (և նշանակում a^b սիմվոլով) այն իրական c թիվը, որը գտնվում է a^b'' և a^b' աստիճանների միջև՝

ab''<c<ab':

(Կարելի է սահմանափակվել այդ դեպքով, քանի որ a<1 դեպքում կարող ենք ընդունել, օրինակի համար, ab=(1/a)-b):

Օգտվելով ցանկացած իրական ցուցիչով աստիճանի սահմանումից, այժմ հեշտ է ապացուցել ցանկացած իրական դրական c թվի լոգարիթմի գոյությունը՝ 1 ից տարբեր դրական a հիմքի դեպքում (մենք կընդունենք, օրինակ, a>1):

Եթե գոյություն ունի այնպիսի r ռացիոնալ թիվ, որ

ar=c,

ապա հենց այդ r-ը կլինի որոնելի լոգարիթմը։ Ենթադրենք, թե այդպիսի ռացիոնալ թիվ չկա։

Բոլոր ռացիոնալ թվերի մեջ առաջացնենք B|B' հատույթը հետևյալ եղանակով՝ B դասի մեջ գցենք բոլոր այն b ռացիոնալ թվերը, որոնց համար ab<c, իսկ B' դասի մեջ՝ այն b' ռացիոնալ թվերը, որոնց համար՝ ab'>c: Ցույց տանք, որ B և B' դասերը դատարկ չեն։

cn>1+n(c-1) անհավասարության շնորհիվ  (բանաձևի ստացումը) կունենանք՝

Ռացիոնալ թվերի բազմության սահմաններում մնալով, բոլոր հատվածները երկարությամբ օժտելու անհնարինությունը նույնպես շատ կարևոր առիթ է եղել իռացիոնալ թվերի մուծման համար։ Այժմ ցույց տանք, որ թվային բազմության՝ վերը կատարված ընդլայնումը բավական է հատվածների չափման խնդիրը լուծելու համար։

Ամենից առաջ ձևակերպենք այդ խնդիրն՝ ինքը։

Պահանջվում է յուրաքանչյուր A ուղղագիծ հատվածի հետ կապել մի որոշ l(A) իրական դրական թիվ (որն այնուհետև կանվանենք «A հատվածի երկարություն») այնպես, որպեսզի՝