Օգտվելով ցանկացած իրական ցուցիչով աստիճանի սահմանումից, այժմ հեշտ է ապացուցել ցանկացած իրական դրական c թվի լոգարիթմի գոյությունը՝ 1 ից տարբեր դրական a հիմքի դեպքում (մենք կընդունենք, օրինակ, a>1):

Եթե գոյություն ունի այնպիսի r ռացիոնալ թիվ, որ

ar=c,

ապա հենց այդ r-ը կլինի որոնելի լոգարիթմը։ Ենթադրենք, թե այդպիսի ռացիոնալ թիվ չկա։

Բոլոր ռացիոնալ թվերի մեջ առաջացնենք B|B' հատույթը հետևյալ եղանակով՝ B դասի մեջ գցենք բոլոր այն b ռացիոնալ թվերը, որոնց համար ab<c, իսկ B' դասի մեջ՝ այն b' ռացիոնալ թվերը, որոնց համար՝ ab'>c: Ցույց տանք, որ B և B' դասերը դատարկ չեն։

cn>1+n(c-1) անհավասարության շնորհիվ  (բանաձևի ստացումը) կունենանք՝

Ռացիոնալ թվերի բազմության սահմաններում մնալով, բոլոր հատվածները երկարությամբ օժտելու անհնարինությունը նույնպես շատ կարևոր առիթ է եղել իռացիոնալ թվերի մուծման համար։ Այժմ ցույց տանք, որ թվային բազմության՝ վերը կատարված ընդլայնումը բավական է հատվածների չափման խնդիրը լուծելու համար։

Ամենից առաջ ձևակերպենք այդ խնդիրն՝ ինքը։

Պահանջվում է յուրաքանչյուր A ուղղագիծ հատվածի հետ կապել մի որոշ l(A) իրական դրական թիվ (որն այնուհետև կանվանենք «A հատվածի երկարություն») այնպես, որպեսզի՝

Մարդը, բնության երևույթները հետազոտելիս և իր պրակտիկ գործունեության ընթացքում, հանդիպում է բազմաթիվ զանազան տեսակի ֆիզիկական մեծությունների․ այդպիսիք են ժամանակը, երկորությունը, ծավալը, արագությունը, զանգվածը, ուժը և այլն։ Դրանցից յուրաքանչյուրը, կախված այն խնդրի պայմաններից, որտեղ նա դիտարկվում է, ընդունում է կամ տարբեր արժեքներ, կամ միայն մեկ արժեք։ Առաջին դեպքում մենք գործ ունենք փոփոխական մեծության հետ, իսկ երկրորդ դեպքում՝ հաստատուն մեծության հետ։

Մաթեմատիկական անալիզում, — եթե միայն խոսքը նրա կիրառությունների մասին չէ, —փոփոխական մեծություն (կամ կարճ՝ փոփոխական) ասելով հասկանում են վերացական կամ թվային մեծություն։ Այն նշանակում են որևէ պայմանանշանով (տառով, օրինակ՝ x), որին թվային արժեքներ են վերագրվում։ x փոփոխականը տրված է համարվում, եթե նշվում է այն արժեքների X={x} բազմությունը, որոնք նա կարող է ընդունել։ Հենց այդ բազմությունն էլ կոչվում է x փոփոխականի փոփոխման տիրույթ։ Ընդհանրապես, փոփոխականի փոփոխման տիրույթ կարող է ծառայել ամեն մի թվային բազմություն։

 Հաստատուն մեծությունը (կարճ՝ հաստատունը) հարմար է դիտարկել որպես փոփոխականի մասնավոր դեպք․ այդ համապատասխանում է այն ենթադրությանը, որ X={x} բազմությունը կազմված է մեկ էլեմենտից։