Մաթեմատիկական անալիզի մեջ ուսումնասիրվող գլխավոր առարկան, սակայն, հանդիսանում է մեկ փոփոխականի ինքնուրույն փոփոխությունը, այլ կախումն երկու կամ մի քանի փոփոխականների միջև՝ նրանց համատեղ փոփոխման ժամանակ։ Այստեղ մենք կսահմանափակվենք պարզագույն դեպքով, երբ ունենք երկու փոփոխական։

Գիտության ու կյանքի տարբեր բնագավառներում,—հենց մաթեմատիկայում, ֆիզիկայում, տեխնիկայում,—ընթերցողը հաճախ է տեսել այդպիսի համատեղ փոփոխվող փոփոխականների։

Այժմ վերանանք, ինչպես սովորաբար, դիտարկվող մեծությունների ֆիզիկական իմաստը և տանք մաթեմատիկական անալիզի հիմնական բանաձևերից մեկի՝ ֆունկցիայի գաղափարի ընդհանուր ճշգրիտ սահմանումը։

Դիցուք տրված են երկու փոփոխականներ՝ x և y, որոնց փոփոխման տիրույթներն են X և Y։ Ենթադրենք, թե խնդրի պայմաններով x փոփոխականին կարելի է վերագրել X տիրույթից կամայական արժեք՝ առանց որևէ սահմանափակման։ Այդ դեպքում y փոփոխականը կոչվում է x փոփոխականի ֆունկցիա նրա փոփոխման X տիրույթում, եթե x-ի՝ X-ից վերցրած յուրաքանչյուր արժեքի որևէ կանոնով կամ օրենքով համապատասխանեցվում է y- ի մի որոշակի արժեք Y-ից։

x անկախ փոփոխականը կոչվում է նաև ֆունկցիայի արգումենտ։

Ֆունկցիան անալիտիկ արտահայտության կամ բանաձևի միջոցով տալու եղանակի վերաբերյալ անենք մի շարք պարզաբանիչ դիտողություններ, քանի որ այդ եղանակը բացառիկ կարևոր դեր ունի մաթեմատիկական անալիզում։

1․ Ամենից առաջ՝ ինչպիսի անալիտիկ օպերացիաներ կամ գործողություններ կարող են մտնել այդ բանաձևի մեջ։ Առաջին հերթին այստեղ հասկացվում են տարրական հանրահաշվի և եռանկյունաչափության մեջ ուսումնասիրված օպերացիաները, այն է՝ թվաբանական գործողությունները, աստիճան բարձրացնելը (և արմատ հանելը), լոգարիթմելը, անկյուններից՝ նրանց եռանկյունաչափական մեծություններին անցնելը և կակադարձը։ Սակայն, և կարևոր է ընդգծել այդ, մեր գիտելիքներն անալիզից զարգացնելու համար միասին, այդ օպերացիաներին կավելանան նաև նոր օպերացիաներ․ այդպիսին է առաջին հերթին սահմանային անցումն անցումն, որին նվիրված կլինեն հետագա նյութերը։

Թեպետև մաթեմատիկական անալիզում ֆունկցիաները գրաֆիկորեն չեն տրվում, սակայն ֆունկցիայի գրաֆիկական պատկերացմանը միշտ դիմում են։ Գրաֆիկի պարզ դիտողականությունն ու զննականությունը նրան դարձնում են ֆունկցիայի հատկություններն ուսումնասիրելու անփոխարինելի օժանդակ միջոց։

Դիցուք, մի որոշ X միջակայքում տրված է y=f(x) ֆունկցիան։ Հարթության վրա պատկերացնենք երկու փոխադարձաբար ուղղահայաց կոորդինատային առանցքներ՝ x-երի և y-ների առանցքները։ Դիտարկենք x-ի և y-ի մի զույգ համապատասխան արժեքներ, որտեղ x-ը վերցրած է X միջակայքից, իսկ y=f(x). այդ զույգի պատկերը հարթության վրա կհանդիսանա M(x,y) կետը, որի աբսցիսը x է, իսկ օրդինատը՝ y։ Երբ x փոփոխականը փոփոխվում է իր միջակայքի սահմաններում, այդ ժամանակ ստացվող (x,y) կետերի համախումբը կազմում է ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը և հանդիսանում է նրա երկրաչափական պատկերը։ Սովորաբար գրաֆիկն իրենից մի կոր է ներկայացնում, ինչպես AB կորը գծ․ 2-ում։ Այս դեպքում y=f(x) հավասարումն անվանում են AB կորի հավասարում։