Ստորև բերվող թեորեմները կարևոր են նրանով, որ նրանց օգնությամբ շատ դեպքերում կարիք չի լինում դիմել սահման գաղափարի սահմանմանը, տվյալ ε-ի համար համապատասխան N-ը գտնելով, և այլն։ Դրանով սահմանների հաշվումն զգալի չափով հեշտանում է։

1) Եթե xn և yn փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn = a, lim yn =b

ապա նրանց գումարը (տարբերությունը) նույնպես սահման ունի, ընդ որում՝

lim(xn+yn)=a+b, lim(xn-yn)=a-b

Նախորդ թեմայում մենք դիտարկեցինք հետևյալ արտահայտությունները՝

xn+yn, xn-yn, xnyn, xn/yn

և ենթադրելով, որ xn և yn փոփոխականները ձգտում են վերջավոր սահմանների (որտեղ yn-ի սահմանը քանորդի ժամանակ չպետք էր հավասարվեր զրոյի), մենք որոշեցինք այդ արտահայտություններից յուրաքանչյուրի սահմանը։

Նորից դիտողություն անենք ընդհանուր դեպքի վերաբերյալ։ Քանի որ այստեղ մենք ի նկատի ունենք այնպիսի թեորեմներ, որոնց մեջ փոփոխականները կապվում են հավասարության, անհավասարության թվաբանական գործողությունների նշաններով, ամենից առաջ պետք է պայմանավորվենք, որ այդպիսի նշաններով երկու կամ մի քանի՝ f(x), g(x), … ֆունկցիաներ, (որոնք որոշված են X տիրույթում), մենք միշտ ենթադրում ենք, որ նրանց արժեքները համապատասխանում են x-ի միևնույն արժեքներին։

Ֆունկցիաների սահմանների վերաբերյալ մինչև այժմ բերված թեորեմներն այնպիսի բնույթ ունեին․ ենթադրելով որոշ ֆունկցիաների սահմանների գոյությունը, ապացուցում էինք սահմանների գոյությունն այլ ֆունկցիաների, որոնք այս կամ այն կերպ կապված էին առաջինների հետ։ Տրված ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի գոյության հայտանիշների հարցը, չկապված այլ ֆունկցիաների հետ, մինչև այժմ չի դրվել։ Այդ հարցի ընդհանուր լուծումը թողնելով մինչև համապատասխան թեման, այստեղ դիտարկենք ֆունկցիաների մի պարզ ու կարևոր դաս, որի համար այդ հարցը հեշտությամբ լուծվում է։ Ինչպես միշտ, սկսենք պարզագույն դեպքից՝ բնական արգումենտի xn ֆունկցիայից։