Մենք ի նկատի ունենք այնպիսի ներկայացումը, որի ժամանակ կոտորակային մասը (մանտիսան) դրական է, մինչդեռ ամբողջ մասը կարող է ինչպես դրական լինել, այնպես էլ՝ բացասական կամ զրո։

Նախ ենթադրենք, որ դիտարկվող a իրական թիվը ոչ ամբողջ է, ոչ էլ վերջավոր տասնորդական կոտորակ։ Փնտրենք նրա տասնորդական մոտավորությունները։ Եթե a թիվը որոշվում է A|A' հատույթով, ապա նախ և առաջ հեշտ է համոզվել, որ A դասում կգտնվի մի M ամբողջ թիվ, իսկ A' դասում՝ նույնպես ամբողջ N թիվ, ընդ որում N>M: Ավելացնելով M թվին մեկական միավորներ, անհրաժեշտաբար կհասնենք իրար հաջորդող այնպիսի C և C+1 ամբողջ թվերի, որ 

C<a<C+1,

Ընդ որում C թիվը կարող է լինել դրական, բացասական կամ զրո։

Այնուհետև, եթե C և C+1 թվերի միջև ընկած միջակայքը

C,1, C,2, ... , C,9

Այժմ զբաղվենք բոլոր իրական թվերի բազմության մի շատ կարևոր հատկությամբ, որն այն էապես տարբերվում է ռացիոնալ թվերի բազմությունից։ Դիտարկելով հատույթները ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ, մենք տեսանք, որ երբեմն այդպիսի հատույթների համար այդ բազմության մեջ չկա սահմանազատիչ թիվ, որի մասին կարելի լիներ ասել, թե նա առաջացնում է այդ հատույթը։ Ռացիոնալ թվերի բազմության հենց այդ ոչ լրիվությունը, նրա մեջ հենց այդ բաց տեղերի առկայությունն է հիմք ծառայել նոր՝ իռացիոնալ թվերի մուծման համար։ Այժմ սկսենք դիտարկել հատույթներ բոլոր իրական թվերի բազմության մեջ։ Այդպիսի հատույթ ասելով մենք հասկանում ենք այդ բազմության տրոհումը A և A' երկու ոչ դատարկ բազմությունների, որի ժամանակ՝

1․ յուրաքանչյուր իրական թիվ ընկնում է A և A' բազմություններից մեկի և միայն մեկի մեջ և, բացի դրանից՝

2․ A բազմության յուրաքանչյուր a թիվ փաքր է A' բազմության յուրաքանչյուր a' թվից։

Օգտագործելով Դեդեկենդի հիմնական թեորեման սահմանենք մի քանի գաղափարներ, որոնք կարևոր դեր են խաղում ժամանակակից անալիզի մեջ։ Նրանք հարկավոր կլինեն արդեն իսկ իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունների հարցը քննելիս։

Պատկերացնենք թվերի մի կամայական անվերջ բազմություն․ նա կարող է տրված լինել որևէ եղանակով։ Այդպիսի բազմություններ են հանդիսանում, օրինակ, բնական թվերի բազմությունը, բոլոր կանոնավոր կոտորակների բազմությունը, 0-ի և 1-ի միջև գտնվող բոլոր իրական թվերի բազմությունը, sin x = ½ հավասարման բոլոր արմատների բազմությունը, և այլն։

Բազմությանը պատկանող ցանկացած թիվը կնշանակենք x-ով, այնպես, որ x-ը կլինի բազմության թվերի տիպական նշանակումը։ x թվերի բազմությունն ինքը կնշանակենք` X={x}: Եթե դիտարկվող {x} բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի M վերջավոր թիվ, որ բոլոր x-երի համար x M, ապա ասում են, որ տրված բազմությունը վերևից սահմանափակ է (M թվով), և M թիվն անվանում են նրա վերին եզր (верхняя граница)։ Օրինակ, կանոնավոր կոտորակների բազմությունը սահմանափակված է 1 թվով, ինչպես նաև 1-ից մեծ ամեն մի թվով։ Բնական թվերի բազմությունը վերևից սահմանափակված չէ։

Դիցուք ունենք երկու a ու b իրական թվերը։ Դիտարկենք a'', a' և b'', b' ռացիոնալ թվերը, որոնք բավարարում են հետևյալ անհավասարություններին՝

a''<a<a' և b''<b<b'

a ու b թվերի a+b գումար անվանենք այնպիսի c թիվը, որը գտնվում է, մի կողմից a''+b'' տեսքի բոլոր գումարների և, մյուս կողմից a'+b' տեսքի բոլոր գումարների միջև՝

a''+b''<c<a'+b':

Նախ համոզվենք, որ a ու b իրական թվերի ամեն մի զույգի համար գոյություն ունի այդպիսի c թիվ։

Դիտարկենք a''+b'' տեսքի բոլոր հնարավոր գումարների բազմությունը։ Այդ բազմությունը վերևից սահմանափակ է, օրինակ, a' + b' տեսքի ցանկացած գումարով։ Նշանակենք

c=sup{a''+b''}

Այդ ժամանակ a''+b''≤c և միաժամանակ c≤a'+b': Քանի որ, ինչպիսին էլ լինեն a''<a<a' և b''<b<b' պայմանին բավարարող a'', b'', a', b' ռացիոնալ թվերը, միշտ հնարավոր է, պահպանելով այդ պայմանները, a'' և b'' թվերը մեծացնել, իսկ a' և b' թվերը փոքրացնել, ուստի հենց նոր ստացված հավասարություն-անհավասարությունների մեջ իրականում ոչ մի դեպքում չի կարող հավասարություն լինել։ Այսպիսով c թիվը բավարարում է գումարի սահմանմանը։