Այժմ ապացուցենք, որ յուրաքանչյուր a իրական թվի համար գոյություն ունի (նրան սիմետրիկ) -a թիվ, որը բավարարում է a+(-a)=0:

Ապացուցելիս կարելի է սահմանափակվել այն դեպքով, երբ a թիվն իռացիոնալ է։

Ընդունելով, որ a թիվը վորոշվում է A|A' հատույթով, մենք a թիվը մենք -a թիվը սահմանենք հետևյալ ձևով։ -a թիվը որեշող հատույթի A ստորին դասի մեջ գցենք բոլոր -a' ռացիոնալ թվերը, որտեղ a' -ը ցանկացած թիվ է A' դասից, իսկ A' վերին դասի մեջ գցենք բոլոր -a'' ռացիոնալ թվերը, որտեղ a''-ը ցանկացած թիվ է A դասից։ Դժվար չէ համոզվել, որ այդպիսի տրոհումն իրոք հատույթ է և որոշում է մի իրական (տվյալ դեպքում՝ իռացիոնալ) թիվ․ այդ թիվը նշանակենք -a:

Այժմ ցույց տանք, որ այդ թիվը բավարարում է նշված պայմանին՝ a+(-a)=0: Օգտվելոց հենց -a թվի սահմանումից, տեսնում ենք, որ a+(-a) գումարը մի իրական թիվ է, որը գտնվում է a''-a' տեսքի և a'-a'' տեսքի ռացիոնալ թվերի միջև, որտեղ a''<a<a': Բայց, ակներևորեն՝

Այժմ անցնենք իրական թվերի բազմապատկմանը, նախ սահմանելով դրական թվերով։ Դիցուք տրված են այդպիսի երկու a և b թվեր։ Մենք այստեղ կդիտարկենք a''<a<a' և b''<b<b' անհավասարություններին բավարարող բոլոր ռացիոնալ թվերը, ընդ որում այդ թվերը ևս ենթադրում ենք դրական։

Երկու a ու b իրական դրական թվերի ab արտադրյալ կանվանենք այնպիսի c իրական թիվը, որը գտնվում է մի կողմից՝ a''b'' տեսքի բոլոր արտադրյալների և մյուս կողմից a'b' տեսքի բոլոր արտադրյալների միջև՝

a''b''<c<a'b':

Այսպիսով c թվի գոյությունն ապացուցելու համար վերցնենք բոլոր հնարավոր a''b'' տեսքի արտադրյալների բազմությունը․ Նա վերևից սահմանափակ է a'b' տեսքի ցանկացած արտադրյալով։ Եթե ընդունենք

c=sup{a''b''},

Իրական թվերի բազմապատկման (բաժանման) սահմանումը մեզ անմիջապես հանգեցնում է, ինչպես սովորաբար, ինչպես սովորաբար, ամբողջ դրական (և բացասական) ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը։ Անցնելով ընդհանրապես ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի գաղափարին, կանգ առնենք նախ արմատի գոյության հարցի վրա։

Ինչպես մենք հիշում ենք, ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ պարզագույն արմատների բացակայությունը այդ բազմության ընդլայման առիթներից մեկն է եղել։ Այժմ ստուգենք, թե արդյոք կատարված ընդլայնումը ինչ չափով է լրացրել նախկին բացերը(չստեղծելով, իհարկե, նորերը

Դիցուք a-ն ցանկացած իրական թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ է։ Ինչպես հայտնի է, a թվի n-րդ աստիճանի արմատ կոչվում է այնպիսի q իրական թիվը, որի համար՝

qn=a:

Այժմ անցնենք ցանկացած իրական դրական թվի ցանկացած b իրական ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը։ Դիտարկման ենթարկենք a թվի b'' և b' ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանները՝

ab'' և ab',

որտեղ ցուցիչը բավարարում է հետևյալ պայմաններին՝

b''<b<b'

a>1 թվի b ցուցիչով աստիճան անվանում են (և նշանակում a^b սիմվոլով) այն իրական c թիվը, որը գտնվում է a^b'' և a^b' աստիճանների միջև՝

ab''<c<ab':

(Կարելի է սահմանափակվել այդ դեպքով, քանի որ a<1 դեպքում կարող ենք ընդունել, օրինակի համար, ab=(1/a)-b):