Քննարկենք մի եղանակ, որը մեզ կօգնի a դրական թվից n-րդ աստիճանի (n>1) արմատ հանել։

    Դժվար չէ նկատել, որ այդ թիվը xn=a հավասարման դրական արմատն է։

    Վերցնենք սկզբնական մոտարկում, որը մեծ է մեր որոնվող թվից, որոշակիության համար վերցնենք x0=a+1:

    Դիտարկենք y=xn-a ֆունկցիայի x0 կետում տարված շոշափողի հավասարումը․ 

    Ընթերցողը դպրոցական դասընթացից ծանոթ է ռացիոնալ թվերին և նրանց հատկություններին: Միևնույն ժամանակ դպրոցական մաթեմատիկայի ուսումնասիրումից արդեն առաջացնում են ռացիոնալ թվթվերի դաշտի ընդլայնման անհրաժեշտությունը: Իսկապես, ռացիոնալ թվերի շարքում հաճախ արմատ չի հանվում  նույնիսկ ամբողջ դրական (բնական) թվերից, օրինակ `գոյություն չունի այնպիսի ռացիոնալ թիվ, որի քառակուսին հավասար կլինի 2 -ի:

     

    Դա ապացուցելու համար մենք ենթադրում ենք հակառակը. Ենթադրենք գոյություն ունի այնպիսի մի p/q կոտորակ (որտեղ p և q թվերը բնական են), որի քառակուսին հավասար լինի 2 –ի։ Մենք իրավունք ունենք այն համարել անկրճատելի, քանի որ կարող ենք այն կրճատել և ազատվել p և q թվերի բաժանարարով։ (p/q)2 = 2 ուրեմն p2=2q2, որից ետևում է, որ p-ն կենտ լինել չի կարող, ուրեմն p-ն զույգ է՝ p=2r, ուրեմն կստացվի q2=2r2: Ստացվում է, որ q – ն նույնպես զույգ թիվ է։ Ստացված հակասությունը ապացուցում է մեր պնդումը։

    Մենք իռացիոնալ թվերի տեսությունը կշարադրենք, հետևելով Դեդեկենդին: Այդ տեսության հիմքում ընկած է ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ առաջացվող հատույթների գաղափարը: Դիտարկենք բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության տրոհումը երկու ոչ դատարկ (այսինքն՝ իրոք թեկուզ մեկական թիվ պարունակող) A և A' բազմությունների. այլ կերպ ասած, մենք ենթադրում ենք, որ՝

    1. Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ ընկնում է A և A' մեկի և միայն մեկի մեջ:

    Մենք այդպիսի տրոհումը հատույթ կանվանենք, եթե բավարարվի նաև հետևյալ պայմանը՝

    2. A բազմության յուրաքանչյուր a թիվ փոքր է A' բազմության յուրաքանչյուր a' թվից:

    A բազմությունը կոչվում է հատույթի ստորին դաս, A' բազմությունը՝ վերին դաս: Հատույթը նշանակելու ենք այսպես՝ A|A':

    a և b երկու իռացիոնալ թվերը, որոնք համապատասխանաբար որոշվում են A|A' և B|B' հատույթներով, համարվում են իրար հավասար, միմյանց հավասար, եթե այդ հատույթները նույնական են․ ի միջի այլոց, բավական է պահանջել, որ համընկնեն A և B ստորին դասերը, որովհետև այդ ժամանակ A' և B' վերին դասերն իրենք կհամընկնեն։ Այդ սահմանումը կարելի է պահպանել նաև այն դեպքում, երբ a և b թվերը ռացիոնալ են։ Այլ խոսքով, եթե a և b ռացիոնալ թվերն իրար հավասար են, ապա այդ թվերը որոշող հատույթները համընկնում են, և, հակադարձաբար, հատույթների համընկնումից բխում է a և b թվերի հավասարությունը։ Այդ ժամանակ, հասկանալի է, պետք է հաշվի առնել այն պայմանը, որն ընդունել էինք վերևում, ռացիոնալ թվերը հատույթների միջոցով որոշելիս։ Այժմ անցնենք "մեծի" գաղափարի որոշմանն իրական թվերի նկատմամբ։ Ռացիոնալ թվերի համար այդ գաղափարն արդեն հայտնի է դպրոցական դասընթացից։ r ռացիոնալ թվի և a իռացիոնալ թվի համար "մեծի" գաղափարը փաստորեն որոշված է հատույթների սահմանման երկրորդ կետում, այն է՝ եթե a-ն որոշվում է A|A' հատույթով, ապա մենք a-ն մեծ ենք համարում A դասին պատկանող բոլոր ռացիոնալ թվերից, իսկ A' դասին պատկանող բոլոր ռացիոնալ թվերը՝ մեծ են a-ից։

    2019 www.alphazero.ru