Անորոշությունների բացումը։ Անվերջության ձգտող ֆունկցիաների հարաբերության դեպքը

    Դիմենք ∞/∞ տեսքի անորոշ արտահայտությունների դիտարկմանը, այսինքն՝ հետազոտենք f(x) և g(x) երկու այնպիսի ֆունկցիաների հարաբերության սահմանի վերաբերյալ հարցը, որոնք ձգտում են անվերջության (երբ x->a): Ցույց տանք, որ այս դեպքում կիրառելի է Լոպիտալի կանոնը․ հետևյալ թեորեման նախերդ դասի 1-ին թեորեմայի պարզ ձևակերպումն է։

    Թեորեմա 2։ Դիցուք 1) f(x) և g(x) ֆունկցիաները որոշված են (a, b] միջակայքում,

    \[2) \lim_{x \to a}f(x)= \infty , \quad \lim_{x \to a} g(x)= \infty,\]

    3) (a, b] միջակայքում գոյություն ունեն f'(x) և g'(x) ածանցյալները, ընդ որում g'(x)≠0, և, վերջապես, 4) գոյություն ունի
    \[\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=K\]

    սահմանը, (վերջավոր կամ ոչ)։ Այդ դեպքում նաև՝
    \[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=K\]

    Ապացուցում։ 2) պայմանի շնորհիվ կարելի է համարել, որ x-ի բոլոր արժեքների համար f(x)>0 և g(x)>0:

    Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ K-ն վերջավոր է։ Կամայապես վերցրած ε>0 թվի համար, 4) պայմանի շնորհիվ, գոյություն կունենա այնպիսի η>0 թիվ (η<b-a), որ a<x<a+η դեպքում կունենանք՝

    \[\left| \frac{f'(x)}{g'(x)}-K \right| < \frac{ε}{2}:\]

    Կարճության համար նշանակենք
    \[a+η=x_0\]

    և x-ը վերցնենք a-ի և x0-ի միջև։ [x, x0] միջակայքի նկատմամբ կիրառելի է Կոշիի բանաձևը՝
    \[\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\]

    որտեղ x<c<x0: Հետևաբար՝
    \[\left| \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} -K \right| <\frac{ε}{2}:\]

    Այժմ գրենք հետևյալ նույնությունը (որն ստացվում է անմիջականորեն)՝
    \[\frac{f(x)}{g(x)}-K=\frac{f(x_0)-Kg(x_0)}{g(x)}+\left[ 1- \frac{g(x_0)}{g(x)} \right] \cdot  \left[ \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}-K \right]:\]

    Քանի որ g(x)->∞, երբ x->a, ուստի կգտնվի այնպիսի δ>0 թիվ (կարելի է համարել δ<η), որ a<x<a+δ դեպքում միաժամանակ տեղի կունենան հետևյալ անհավասարությունները՝
    \[g(x)>g(x_0), \quad \left| \frac{f(x_0)-K \cdot g(x_0)}{g(x)} \right| < \frac{ε}{2}\]

    Այդ դեպքում, x-ի նշված արժեքների համար կունենանք՝
    \[\left| \frac{f(x)}{g(x)}-K \right|< \frac{ε}{2}+\frac{ε}{2}=ε,\]

    որը և ապացուցում է պահանջվող պնդումը։

    Դիցուք այժմ K=∞ [2) պայմանի առկայության դեպքում K=-∞ դեպքը հնարավոր չէ]. այդ դեպքում f'(x)≠ x-ի գոնե այն արժեքների համար, որոնք բավականաչափ մոտ են a-ին։ f և g ֆունկցիաների դերերը փոխանակելով, կունենանք՝

    \[\lim_{x \to a} \frac{g'(x)}{f'(x)}=0\]

    այնպես որ, ապացուցվածի համաձայն, նաև՝
    \[\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{f(x)}=0\]

    որտեղից, վերջապես, սկզբում արված դիտողությունների կապակցությամբ, ստացվում է՝
    \[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \infty :\]

    2-րդ թեորեմայի տեքստում կարելի էր համարել նաև a=-∞, առանց էական փոփոխությունների ապացուցման մեջ։ Եթե a-ն լիներ դիտարկվող միջակայքի աջ ծայրակետը, ապա, մասնավորապես, կարելի էր համարել նաև a=+∞: Այսպիսով, a=±∞ դեպքերն ըստ էության ընդգրկված են 2-րդ թեորեմայում։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru