Թվաբանական m չափանի տարածություն

    Թվաբանական m չափանի տարածություն

    Անցնելով m անկախ փոփոխականների ֆունկցիաներին (m>2 դեպքում), մենք նախ կանգ առնենք այդ փոփոխականների համատեղ արժեքների դեպքի վրա։

    m=3 դեպքում (x, y, z) երեք թվերի այդպիսի սիստեմը, ինչպես այդ պարզ է ընթերցողի համար, դեռևս կարող է երկրաչափորեն մեկնաբանվել որպես տարածության կետ, իսկ այդպիսի եռյակների բազմությունը՝ որպես տարածության մաս կամ երկրաչափական մարմին։ Բայց m>3 դեպքում անմիջական երկրաչափական մեկնաբանման հնարավորություն արդեն չկա։

    Այնուամենայնիվ, ցանկանալով տարածել երկրաչափական մեթոդները (որոնք օգտավետ եղան երկու և երեք փոփոխականի ֆունկցիաների համար) նաև ավելի շատ թվով փոփոխականների ֆունկցիաների տեսության վրա, անալիզի մեջ մուծում են m չափանի «տարածության» գաղափարը նաև m>3 դեպքում․

    m հատ իրական թվերի սիստեմն անվանենք (m չափանի) «կետ»՝

    \[M(x_1, x_2, …, x_m), \quad x_1, x_2, …, x_m\]

    թվերը կհանդիսանան այդ M «կետի» կոորդինատները։ Բոլոր մտածելի m չափանի «կետերի» բազմությունը m չափանի «տարածություն», որը երբեմն անվանում են թվաբանական տարածություն։

    «m չափանի կետի» և «m չափանի (թվաբանական) տարածության» գաղափարներն սկիզբ են առնում Ռիմանից, սակայն տերմինաբանությունը պատկանում է Կանտորին։
    Նպատակահարմար է մուծել նաև

    \[M(x_1, x_2, …, x_m), \quad M'(x^{'}_1, x^{'}_2, …, x^{'}_m)\]

    (m չափանի երկու «կետերի»
    \[\overline{MM'}\]

    «հետավորության» գաղափարը։ Հետևելով անալիտիկ երկրաչափությունից հայտնի բանաձևին, ընդունում են՝
    \[\overline{MM'}=\overline{M'M}=\sqrt{\sum^m_{i=1}(x'_i – x_i)^2}=\sqrt{(x'_1 – x_1)^2 + (x'_2-x_2)^2 +...+ (x'_m-x_m)^2}\]

    m=2 և m=3 դեպքերում այդ «հեռավորությունը» համընկնում է երկու համապատասխան երկրաչափական կետերի սովորական հեռավորության հետ։
    Եթե վերցնենք ևս մեկ կետ՝
    \[M''(x''_1, x''_2, …, x''_m),\]

    ապա կարելի է ապացուցել, որ
    \[\overline{MM'}, \overline{M'M''}, \overline{MM''}\]

    հեռավորությունների համար տեղի ունի
    \[\overline{MM''} \leq \overline{MM'}+\overline{M'M''}\]

    անհավասարությունը, որը հիշեցնում է երկրաչափության հայտնի թեորեման՝ «եռանկյան կողմը մեծ չէ մյուս երկու կողմերի գումարից»։

    Իրոք, կամայապես վերցրած

    \[a_1, a_2, …, a_m, \quad b_1, b_2, …, b_m\]

    Իրական թվերի համար տեղի ունի
    \[\sqrt{\sum^m_{i=1}(a_i + b_i)^2}   \leq \sqrt{\sum^m_{i=1}a_i^2}+\sqrt{\sum^m_{i=1} b_i^2}\]

    անհավասարությունը։

    Եթե այդ անհավասարության երկու կողմերը քառակուսի բրաձրացնենք և երկու մասերից դեն նետենք հավասար անդամները, ապա նա կհանգի Կոշիի հայտնի անհավասարությանը՝

    \[\sum_{i=1}^m a_ib_i \leq  \sqrt{\sum^m_{i=1}a_i^2} \cdot \sqrt{\sum^m_{i=1} b_i^2}\]

    Զուգընթացաբար ցույց տանք, թե ինչպես այս վերջինս կարելի է ստանալ տարրական եղանակով։ Հետևյալ
    \[\sum_{i=1}^m (a_ix+b_i)^2=x^2 \cdot \sum_{i=1}^m a_i^2 + 2x \cdot \sum_{i=1}^m a_ib_i + \sum_{i=1}^m b_i^2\]

    քառակուսի եռանդամը բացասական արժեք չի ընդունում։ Այդ դեպքում նա չի կարող ունենալ տարբեր իրական արմատներ, և նրա դիսկրիմինանտը՝ տարբերիչը դրական է կամ 0, ուրեմն՝
    \[\sum_{i=1}^m a_i^2 \cdot \sum_{i=1}^m b_i^2 - \left( \sum_{i=1}^m a_ib_i \right)^2 \geq 0\]

    որը համարժեք է Կոշիի անհավասարությանը։

    Եթե այստեղ՝

    \[\sqrt{\sum^m_{i=1} (a_i + b_i)^2} \leq \sqrt{\sum^m_{i=1}a_i^2}+\sqrt{\sum^m_{i=1} b_i^2}\]

    ընդունենք
    \[a_i=x'_i-x_i, \quad b_i=x''_i-x'_i\]

    այնպես որ՝
    \[a_i+b_i=x''_i-x_i\]

    ապա կստանանք՝
    \[\overline{MM''} \leq \overline{MM'}+\overline{M'M''}\]

    անհավասարությունը՝ բացված տեսքով։ Այսպիսով, հեռավորության այդ էական հատկությունը տեղի ունի նաև մեր տարածության մեջ։

    m չափանի տարածությունում կարելի է դիտարկել նաև ուղիղներ։ Ընթերցողը կհիշի, որ

    \[x_1x_2\]

    հարթության վրա ուղիղը որոշվում է
    \[\frac{x_1 - {\beta}_1}{{\alpha}_1}=\frac{x_2 - \beta_2}{\alpha_2}\]

    հավասարումով, իսկ
    \[x_1x_2x_3\]

    տարածությունում՝
    \[\frac{x_1 - {\beta}_1}{{\alpha}_1}=\frac{x_2 - \beta_2}{\alpha_2}=\frac{x_3 - \beta_3}{\alpha_3}\]

    հավասարումներով (հայտարարի գործակիցները չեն կարող միաժամանակ զրո դառնալ, իսկ 0 դառնալու դեպքում օգտագործում են այդ տեսքը՝ պայմանական նշանակելով այդ հավասարությունների խաչաձև բազմապատկումից ստացված հավասարումները)։ Դրանց նմանությամբ, m չափանի տարածությունում «ուղիղ» անվանենք այն
    \[(x_1, x_2, …, x_m)\]

    «կետերի» բազմությունը, որոնք բավարարում են հավասարումների հետևյալ սիստեմին՝
    \[\frac{x_1 - {\beta}_1}{{\alpha}_1}=\frac{x_2 - \beta_2}{\alpha_2}=...=\frac{x_m - \beta_m}{\alpha_m}\]

    (հայտարարների գործակիցների նկատմամբ արված նույն պայմանով)։ Եթե այդ հարաբերությունների ընդհանուր արժեքը նշանակենք t, ապա ուղիղը կարելի է որոշել նաև պարամետրական հավասարումներով՝
    \[x_1=\alpha_1t+\beta_1, \quad x_2=\alpha_2t+\beta_2,..., \quad x_m=\alpha_mt+\beta_m\]

    ենթադրելով, որ t պարամետրը փոփոխվում է իրական թվերի բազմությունում։ Այդ ուղղի կետերը կհամարենք մեկը մյուսին հաջորդող պարամետրի աճման կարգով․ եթե t'<t<t'', ապա նրանց համապատասխանող M', M, M'' կետերից հենց M կետն է, որ գտնվում է մյուս երկուսի միջև, որովհետև նա հաջորդում է M'-ին և նախորդում է M''-ին։ Այս պայմանների դեպքում, հեշտ է ցույց տալ, որ դրանց միջև գտնվող հեռավորությունները բավարարում են հետևյալ առնչությանը՝
    \[\overline{M'M''} \leq \overline{M'M}+\overline{MM''}\]

    որը բնորոշ է նաև սովորական տարածության մեջ գտնվող ուղղի համար։
    Տրված՝
    \[M'(x'_1, x'_2, …, x'_m), \quad M''(x''_1, x''_2, …, x''_m)\]

    որկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը, ակներևաբար, կարելի է գրել այսպես՝
    \[x_1=x'_1 +t(x''_1-x'_1), …, x_m=x'_m+t(x''_m-x'_m)\]

    \[(- \infty < t < + \infty )\]

    ընդ որում M' և M'' կետերն իրոք ստացվում են այստեղից t=0 և t=1 դեպքերում։ Իսկ եթե t-ն փոփոխենք 0-ից մինչև 1, կստանանք այդ կետերը միացնող M'M'' «ուղղագիծ հատվածը»։

    Վերջապես, եթե ունենք մեկը մյուսին կցված մի քանի հատվածներ՝

    \[M'M_1, M_1M_2, … , M_kM''\]

    ապա նրանցից կկազմվի բեկյալ m չափանի տարածությունում։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru