Տիրույթների օրինակներ m-չափանի տարածության մեջ

Կարգ՝ Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները

Այժմ դիմենք m-չափման «տարածության» մեջ «մարմինների» կամ «տիրույթների» մի քանի պարզագույն օրինակների դիտարկմանը։

1) Այն

\[M(x_1, x_2, …, x_m)\]

«կետերի» բազմությունը, որոնց կոորդինատներն իրարից անկախ բավարարում են հետևյալ անհավասարություններին՝
\[a_1 \leq x_1 \leq b_1, a_2 \leq x_2 \leq b_2, …, a_m \leq x_m \leq b_m\]

կոչվում է (m-չափանի) «ուղղանկյուն զուգահեռանիստ» և նշանակվում է այսպես՝
\[[a_1, b_1; a_2, b_2; … ; a_m, b_m]\]

Այստեղից, մասնավոր դեպքում, երբ m=2, ստացվում է այն «ուղղանկյունը», որի մասին արդեն խոսել ենք երկու փոփոխականի ֆունկցիաների մասին դասում․ եռաչափ «զուգահեռանիստին» տարածության մեջ համապատասխանում է սովորական ուղղանկյուն զուգահեռանիստ։

Եթե վերոհիշյալ առնչությունների մեջ բացառենք հավասարության դեպքը՝

\[a_1<x_1<b_1, a_2<x_2<b_2, …, a_m<x_m<b_m,\]

ապա այսպիսով կորոշվի բաց «ուղղանկյուն զուգահեռանիստ»՝
\[(a_1,b_1; a_2,b_2; …; a_m, b_m),\]

ի տարբերություն որից, վերևում դիտարկվածը կոչվում է փակ «զուգահեռանիստ»։ Երկու զուգահեռանիստերի համար էլ
\[b_1-a_1, b_2-a_2, …, b_m-a_m\]

տարբերությունները կոչվում են չափումներ, իսկ
\[\left( \frac{a_1+b_1}2, \frac{a_2+b_2}2, …, \frac{a_m+b_m}{2} \right)\]

կետը՝ կենտրոն։
\[M_0(x_1^o, x_2^o, …, x_m^o)\]

կետի շրջակայք կոչվում է ցանկացած՝
\[(x_1^o-\delta_1, x_1^o+\delta_1; x_2^o-\delta_2, x_2^o+\delta_2; …; x_m^o-\delta_m, x_m^o+\delta_m) \quad \delta_1, \delta_2, …, \delta_m>0\]

բաց զուգահեռանիստ, որի կենտրոնը M0 կետն է․ ամենից հաճախ այդ լինում է խորանարդ՝
\[(x_1^0-\delta, x_1^o+\delta; x_2^o-\delta, x_2^o+\delta; …; x_m^o-\delta, x_m^o+\delta) \quad \delta >0\]

որի բոլոր չափումները իրար հավասար են։

2) Դիտարկենք այն

\[M(x_1, x_2, …, x_m)\]

կետերի բազմությունը, որոնց կոորդինատները բավարարում են հետևյալ անհավասարությանը՝
\[(x_1-x_1^o)^2+(x_2-x_2^o)^2+(x_3-x_3^o)^2+...+(x_m-x_m^o)^2 \leq r^2 \quad (<r^2)\]

որտեղ
\[M_0(x_1^o, x_2^o, …, x_m^o)\]

հաստատուն կետ է, իսկ r-ը՝ հաստատուն դրական թիվ։ Այդ բազմությունը կոչվում է փակ (կամ բաց) m չափանի գունդ՝ r շառավղով և M0 կենտրոնով։

Այլ խոսքով, գունդը այն M կետերի բազմությունն է, որոնց հեռավորությունը մի M0 կետից չի գերազանցում (կամ փոքր է) r-ից։ Ինքնըստինքյան պարզ է, որ n=2 դեպքում այդ գնդին համապատասխանում է շրջան, իսկ n=3 դեպքում սովորական գունդ։

Ցանկացած r>0 շառավղով և

\[M_0(x_1^o, …, x_m^o)\]

կենտրոնով բաց գունդը նույնպես կարելի է դիտարկել որպես այդ կետի շրջակայք․ ի տարբերություն առաջ սահմանած զուգահեռանիստային շրջակայքից, այս շրջակայքը կանվանենք գնդային շրջակայք։

Պետք է մեկընդմիշտ իմանալ, որ եթե M0 կետը շրջապատված է վերոհիշյալ երկու տեսակի շրջակայքերից որևէ մեկով, ապա այն կարելի է շրջապատել նաև մյուս տեսակի շրջակայքով այնպես, որ այդ շրջակայքը գտնվի առաջինի ներսը։
Դիցուք նախ տրված է

\[(x_1^0-\delta_1, x_1^o+\delta_1; x_2^o-\delta_2, x_2^o+\delta_2; …; x_m^o-\delta_m, x_m^o+\delta_m) \quad \delta_1, \delta_2, …, \delta_m>0\]

զուգահեռանիստը, որի կենտրոնը M0 կետն է։ Բավական է վերցնել նույն կետրոնով և բոլոր δi-երից (i=1, 2, …, m) փոքր r շրջանով մի գունդ, որպեսզի այդ գունդը գտնվի վերոհիշյալ զուգահեռանիստի ներսը։ Իրոք, այդ գնդի ցանկացած
\[M(x_1, x_2, …, x_m)\]

կետի համար կունենանք (յուրաքանչյուր i=1, 2, …, m արժեքի համար)՝
\[x_i-x_i^o \leq \sqrt{\sum_{k=0}^m (x_k-x_k^o)^2}= \overline{MM_0}<r<\delta \]

կամ
\[x_i^o-\delta_i<x_i<x_i^o+\delta_i\]

ուստի այդ կետը պատկանում է տրված զուգահեռանիստին։

Հակադարձաբար, եթե տրված է r շառավղով և M0 կենտրոնով գունդ, ապա զուգահեռանիստը նրա ներսը կգտնվի, օրինակ, երբ

\[\delta_1 = \delta_2 = … = \delta_m = \frac{r}{\sqrt{m}}:\]

Այս հետևում է նրանից, որ զուգահեռանիստի ցանկացած
\[M(x_1, x_2, …, x_m)\]

կետը գտնվում է M0 կետից հետևյալ հեռավորության վրա՝
\[\overline{MM_0}=\sqrt{\sum_{k=1}^m(x_k-x_k^0)^2}<\sqrt{\sum_{k=1}^m\delta_k}=r\]

և հետևապես պատկանում է տրված գնդին: