Բաց և փակ տիրույթների ընդհանուր սահմանումը

    \[M'(x'_1, x'_2, …, x'_m)\]

    կետը կանվանենք M բազմության (m չափանի տարածության մեջ) ներքին կետ, եթե նա M բազմությանն է պատկանում իր բավասանաչափ փոքր շրջակայքի հետ միասին։ Նախորդ դասի վերջում ապացուցածից, ակներևորեն, հետևում է, որ նշանակություն չունի այն, թե այստեղ ինչ տիպի շրջակայք ենք ի նկատի ունենում՝ զուգահեռանիստային, թե գնդային։


    \[(a_1, b_1; a_2, b_2; …; a_m, b_m)\]

    բաց ուղղանկյուն զուգահեռանիստի համար նրա յուրաքանչյուր կետը ներքին կետ է։ Իրոք, եթե
    \[a_1<x'_1<b_1, a_2<x'_2<b_2, …, a_m<x'_m<b_m,\]

    ապա հեշտ է գտնել մի այնպիսի δ թիվ, որպեսզի տեղի ունենան
    \[a_1<x'_1-δ<x'_1+δ<b_1, …, a_m<x'_m-δ<x'_m+δ<b_m\]

    անհավասարությունները։

    Նմանապես, r շառավղով և M0 կենտրոնով բաց գնդի դեպքում, նրան պատկանող յուրաքանչյուր M' կետը հանդիսանում է նրա ներքին կետ։ Եթե p-ն վերցնենք այնպես, որ

    \[0<p<r-\overline{M'M}\]

    և M' կետի շուրջը գծենք այդ p շառավղով գունդ, ապա նա ամբողջապես կգտնվի սկզբում վերցրած գնդի ներսը․ հենց որ
    \[\overline{MM'}<p\]

    անմիջապես տեղի կունենա (ինչպես այդ տեսել ենք այս դասում)`
    \[\overline{MM_0}\leq \overline{MM'}+\overline{M'M_0}<p+\overline{M'M_0}<r,\]

    ուստի M կետը պատկանում է սկզբում վերցրած գնդին։

    Այդ տեսակի բազմությունը, որը ամբողջապես կազմված է ներքին կետերից, կանվանենք բաց տիրույթ։

    Այսպիսով, բաց ուղղանկյուն զուգահեռանիստը և բաց գունդը ծառայում են որպես բաց տիրույթների օրինակներ։

    Այժմ ընդհանրացնենք խտացման կետի գաղափարը m չափանի տարածության M բազմության դեպքի համար․ M0 կետը կոչվում է M բազմության խտացման կետ, եթե նրա յուրաքանչյուր շրջակայքում (դարձյալ՝ անկախ շրջակայքի տեսակից) գտնվում է M բազմությանը պատկանող գոնե մեկ կետ, որը M0-ից տարբեր է։

    Բաց տիրույթի այն խտացման կետերը, որոնք տիրույթին չեն պատկանում,կոչվում են նրա եզրային կետեր։ Եզրային կետերի համախմբությունը կազմում է տիրույթի եզրը։ Բաց տիրույթը իր եզրերի հետ միասին կոչվում է փակ տիրույթ:

    Դժվար չէ տեսնել, որ

    \[(a_1, b_1; a_2, b_2; …; a_m, b_m)\]

    բաց զուգահեռանիստի համար եզրային կետեր կլինեն այն
    \[M(x_1, x_2, …, x_m)\]

    կետերը, որոնց համար
    \[a_1 \leq x_1 \leq b_1, …, a_m \leq x_m \leq b_m,\]

    ընդ որում գոնե մեկ դեպքում տեղի ունի հենց հավասարություն։

    Ճիշտ նույն կերպ, վերևում դիտարկված բաց գնդի համար եզրային կլինեն այն M կետերը, որոնց համար ճշտորեն

    \[\overline{MM_0}=r\]

    Այսպիսով, փակ ուղղանկյուն զուգահեռանիստը և փակ գունդը փակ տիրույթների օրինակներ են։

    Այսուհետև, խոսելով բաց կամ փակ տիրույթի մասին, մենք միշտ ի նկատի կունենանք այստեղ նշված հատուկ իմաստով տիրույթ։

    Այժմ ցույց տանք, որ փակ տիրույթին պատկանում են նրա բոլոր խտացման կետերը։

    Դիցուք տրված է D' փակ տիրույթը և նրանից դուրս M0 կետը։ Ապացուցենք, որ M0-ն D'-ի համար խտացման կետ չի լինի։

    D' փակ տիրույթն ստացվում է մի որոշ D բաց տիրույթից՝ նրան իր E եզրը միացնելու միջոցով։ Ակներևաբար, M0 կետը D-ի համար խտացման կետ չէ, հետևապես M0-ն կարելի է շրջապատել այնպիսի բաց գնդով, որ նրա մեջ D-ին պատկանող կետեր բոլորովին չգտնվեն։ Բայց այդ դեպքում այդտեղ չեն գտնվի նաև E-ից կետեր․ չէ որ, եթե E-ից որևէ M կետ գտնվեր այդ գնդի ներսում, ապա այդտեղ կգտնվեր նաև M կետի մի որոշ շրջակայք ամբողջությամբ, և այդ շրջակայքի ներսում չեր լինի D-ից և ոչ մի կետ, որը կհակասեր եզրի սահմանմանը։ Ուրեմն, վերոհիշյալ գնդում D'-ից կետեր չկան, որը և ապացուցում է մեր պնդումը։

    Ընդհանրապես կետային այնպիսի M բազմությունը, որն իր մեջ պարունակում է բոլոր իր խտացման կետերը, անվանում են փակ բազմություն։ Այսպիսով, փակ տիրույթը փակ բազմության մասնավոր դեպքն է։

    Վերջին նյութերում շարադրվածները բոլորը կարելի է դիտարկել միայն որպես ինչ-որ երկրաչափական լեզվի սահմանում․ վերջինիս հետ (m>3 դեպքում) ոչ մի իսկական երկրաչափական պատկերացում չի կապված։ Սակայն օգտակար է ընդգծել, որ m-չափանի թվաբանական տարածությունը փաստորեն հանդիսանում է միայն առաջին քայլը դեպի տարածության գաղափարի վերին աստիճանի բեղմնավոր ընդհանրացումները, որոնք դրված են ժամանակակից անալիզի ավելի բարձր մասերից շատերի հիմքում։