m չափանի տարածության մեջ դիտարկենք կետերի մի հաջորդականություն՝

\[\{M_n(x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, …, x_m^{(n)}) \} \quad (n=1, 2, 3, …):\]

Մենք ասելու ենք, որ կետերի այս հաջորդականությունը զուգամիտում է դեպի
\[M_0(a_1, a_2, …, a_m)\]

սահմանային կետը կամ ձգտում է M0 կետին, եթե Mn կետերի կոորդինատներն առանձին-առանձին ձգտում են M0 կետի համապատասխան կոորդինատներն, այսինքն՝ եթե n-ը անվերջ աճելիս
\[x_1^{(n)} \to a_1, x_2^{(n)} \to a_2, …, x_m^{(n)} \to a_m:\]

Դրա փոխարեն կարելի էր պահանջել, որպեսզի Mn և M0 կետերի հեռավորությունը ձգտի զրոյի՝
\[\overline{M_0M_n} \to 0:\]

Երկու սահմանների համարժեքությունը բխում է երկու տեսակի շրջակայքերի վերաբերյալ բաց և փակ տիրույթների դասում ապացուցած պնդումից։ Իրոք,
\[x_1^{(n)} \to a_1, x_2^{(n)} \to a_2, …, x_m^{(n)} \to a_m\]

պայմանը նշանակում է, որ, ինչպիսին էլ լինի δ>0 թիվը, Mn կետը բավականաչափ մեծ n-ի դեպքում բավարարում է հետևյալ անհավասարություններին՝
\[|x_1^{(n)}-a_1|<\delta, …, |x_m^{(n)}-a_m|<\delta\]

այսինքն՝ գտնվում է M0 կենտրոնով
\[(a_1-δ, a_1+δ; ...; a_m-δ, a_m+δ)\]

բաց զուգահեռանիստում։ Իսկ
\[\overline{M_0M_n} \to 0:\]

պահանջը նշանակում է այն, որ, ինչպիսին էլ լինի r>0 թիվը, Mn կետը, դարձյալ բավականաչափ մեծ n-ի դեպքում, բավարարում է
\[\overline{M_0M_n}<r\]

անհավասարությունը, այսինքն՝ ընկնում է նույն M0 կենտրոնով և r շառավղով բաց գնդի ներսը։

Դիցուք տրված է կետերի մի որոշ M բազմություն m չափանի տարածությունում և դիցուք

\[M_0(a_1, a_2, …, a_m)\]

կետը այդ բազմության խտացման կետ է։ Այդ դեպքում միշտ կարելի է M բազմությունից առանձնացնել M0 կետից տարբեր կետերի այնպիսի
\[\{M_n(x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, …, x_m^{(n)}) \} \quad (n=1, 2, 3, …)\]

հաջորդականություն, որը ձգտի M0 կետին որպես սահմանային կետի։

Այժմ ենթադրենք, թե նշված M բազմությունում որոշված է

\[f(x_1, …, x_m)\]

ֆունկցիան։ Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքի նմանությամբ ասում են՝
\[f(x_1, …, x_m)=f(M)\]

ֆունկցիան ունի A սահմանը
\[x_1, …, x_m\]

փոփոխականները համապատասխանորեն a1-ին, ․․․, am-ին ձգտելիս (կամ, ավելի կարճ՝ M կետն M0 կետին ձգտելիս), եթե M0 կետից տարբեր կետերի՝ դեպի նույն M0 կետը զուգամիտող ինչպիսի
\[\{M_n(x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, …, x_m^{(n)}) \} \quad (n=1, 2, 3, …)\]

հաջորդականություն էլ առանձնացնելու լինենք M բազմությունից, ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներից կազմված
\[\{ f(x_1^{(n)}, …, x_m^{(n)}\}={f(M_n)}\]

թվային հաջորդականությունը միշտ ձգտի A սահմանին։

Այդ փաստը գրառում են այսպես՝

\[A=\lim_{x_1 \to a_1, …, a_m \to a_m}f(x_1, …, x_m),\]

կամ՝ ավելի կարճ՝
\[A=\lim_{M \to M_0}f(M):\]

Ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը հեշտությամբ տարածվում է այն դեպքի վրա, երբ
\[A, a_1, …, a_m\]

թվերից մի քանիսը կամ բոլորն անվերջ մեծ են։

Ընդգծենք, որ, այդպիսով, մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի համար նույնպես սահմանի գաղափարը հանգեցնում է հաջորդականության սահմանի գաղափարին։

Սակայն, այստեղ ևս կարելի է սահմանի սահմանումը ձևակերպել «ε-δ լեզվով», առանց հիշատակելու հաջորդականությունների մասին։ Ահա թե ինչպիսին է այդ սահմանումն այն դեպքում, երբ բոլոր

\[A, a_1, …, a_m\]

թվերը վերջավոր են․

ասում են, որ

\[f(x_1, …, x_m)\]

ֆունկցիան ունի a սահմանը x1, …, xm փոփոխականները, համապատասխանորեն, a1, …, am-ին ձգտելիս, եթե յուրաքանչյուր ε>0 թվի համար կգտնվի այնպիսի δ>0 թիվ, որ
\[|f(x_1,...,x_m)-A|<ε,\]

հենց որ
\[|x_1-a_1|<δ, ..., |x_m-a_m|<δ:\]

Այստեղ ենթադրվում է, որ M կետը վերցրած է M բազմությունից և
\[(a_1, …, a_m)\]

կետից տարբեր է։ Այդպիսով, ֆունկցիայի համար գրված անհավասարությունը պետք է տեղի ունենա M բազմության այն բոլոր կետերում, որոնք գտնվում են M0 կետի
\[(a_1-δ, a_1+δ; ...; a_m-δ, a_m+δ)\]

բավականաչափ փոքր շրջակայքում, բացառյալ
\[(a_1, …, a_m)\]

կետն ինքը (անգամ եթե այն պատկանում է M-ին):
\[(x_1, …, x_m), (a_1, …, a_m)\]

կետերը նշանակելով M և M0, ասածը կարելի է երկրաչափական տերմիններով վերաձևակերպել այսպես․

A թիվը կոչվում է f(M) ֆունկցիայի սահման M կետն M0 կետին ձգտելիս (կամ՝ M0 կետում), եթե յուրաքանչյուր ε>0 թվի համար գոյություն ունի այնպիսի r>0 թիվ, որ

\[|f(M)-A|<ε,\]

հենց որ
\[\overline{M_0M}<r:\]

Ինչպես և վերևում, ենթադրվում է, որ M կետը վերցվում է M բազմությունից, բայց M0-ից տարբեր։ Այդպիսով, ֆունկցիայի համար անհավասարությունը պետք է տեղի ունենա M բազմության այն բոլոր կետերում, որոնք գտնվում են M0 կետի բավականաչափ փոքր գնդային շրջակայքում, բացառությամբ M0 կետի։

Բազմաչափ տարածության տիրույթների դասում տարբեր տեսակի շրջակայքերի վերաբերյալ արված դիտողությունից անմիջապես բխում է ֆունկցիայի սահմանի նոր սահմանման երկու ձևերի համարժեքությունը։

Իսկ ինչ վերաբերվում է նոր սահմանման և նախկին՝ հաջորդականությունների լեզվով տրված սահմանման համարժեքությանը, ապա այդ ապացուցվում է այնպես, ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում:

Վերջում նակտենք, որ նախորդ դասերում զարգացրած սահմանների ողջ տեսությունը տարածվում է նաև մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքի վրա։ Մեծ մասամբ այդ տարածումն իրականացվում է ավտոմատիկորեն, որքանով որ այստեղ ևս բոլորը կարելի է հանգեցնել հաջորդականության։