Հակադարձ ֆունկցիայի գաղափարը

    Նախքան հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին անցնելը, որոշ պարզաբանումներ անենք ընդհանրապես հակադարձ ֆունկցիաների վերաբերյալ։

    Ենթադրենք, թե y=f(x) ֆունկցիան տրված է մի որոշ X տիրույթում և թող Y-ը լինի բոլոր այն այն արժեքների բազմությունը, որոնք այդ ֆունկցիան ընդունում է, երբ x-ը փոփոխվում է X տիրույթի սահմաններում։ Մեր պրակտիկայում ինչպես X-ը, նույնպես և Y-ը սովորաբար իրենցից կներկայացնեն միջակայքեր։

    Y տիրույթից ընտրենք որևէ y=y0 արժեք․ այդ դեպքում X տիրույթում անպայման կգտնվի այնպիսի x=x0 արժեք, որի համար մեր ֆունկցիան կընդունի հենց y0 արժեքը, այնպես որ՝

    f(x0)=y0։

    Այդպիսի x0 արժեքներ կարող են լինել նաև մի քանի հատ։ Այսպիսով Y-ից վերցրած յուրաքանչյուր y արժեքին համապատասխանում է x-իմեկ կամ մի քանի արժեք․ այդպիսով Y տիրույթում որոշվում է մի x=g(y) միարժեք կամ բազմարժեք ֆունկցիա, որը y=f(x) ֆունկցիայի համար կոչվում է հակադարձ ֆունկցիա։

    Դիտարկենք օրինակներ․

    1․ Դիցուք y=ax (a>1), որտեղ x-ը փոփոխվում է X=(-∞,+∞) միջակայքում։ y-ի արժեքները լցնում են Y=(0,+) միջակայքը, ընդ որում, ինչպես գիտենք լոգարիթմի դասից, այդ միջակայքից վերցրած y-ի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում է X-ի ներսը գտնվող միայն մեկ որոշակի x=logay։ Այս դեպքում հակադարձ ֆունկցիան միարժեք է։

    2․ y=x2 ֆունկցիայի համար, եթե x-ը փոփոխվում է X=(-∞,+∞) միջակայքում, հակադարձ ֆունկցիան կլինի երկարժեք y=[0,+) միջակայքին պատկանող y-ի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում է X-ին պատկանող երկու արժեք՝ x=±√y։ Այս երկարժեք ֆունկցիայի փոխարեն սովորաբար դիտարկում են երկու առանձին միարժեք ֆունկցիաներ՝ x=+√y և x=-√y (երկարժեք ֆունկցիայի «ժյուղերը»)։ Նրանք, առանձին-առանձին վերցրած, նույնպես կարող են համարվել y=x2 ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիաներ, միայն թե պետք է ընդունել, որ x-ի փոփոխման տիրույթը սահմանափակված է, համապատասխանաբար, [0,+) կամ (-∞,0] միջակայքերով։

    Նկատենք, որ y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկից հեշտ է կռահել, թե նրա հակադարձ x=g(y) ֆունկցիան միարժեք կլինի թե ոչ։ Միարժեք կլինի, եթե x-երի առանցքին զուգահեռ ցանկացած ուղիղը այդ գրաֆիկը հատի միմիայն մեկ կետում․ ընդհակառակը, եթե այդ ուղիղներից ոմանք գրաֆիկը հատում են մի քանի կետերում, ապա հակադարձ ֆունկցիան կլինի բազմարժեք։ Այդ դեպքում, հենց գրաֆիկի օգնությամբ x-ի փոփոխման միջակայքը կարելի է բաժանել այնպիսի մասերի, որ յուրաքանչյուր մասին՝ արդեն համապատասխանի այդ ֆունկցիայի միարժեք «ճյուղից»։ Օրինակ, մի հայացք նետելով 14-րդ գծագրի վրա, որը հանդիսանում է y=x^2 ֆունկցիայի գրաֆիկը, պարզ կլինի, որ նրա հակադարձ ֆունկցիան երկարժեք է, և որպեսզի ստանանք միարժեք «ճյուղերը», բավական է միայն այդ պարաբոլի աջ և ձախ մասերը, այսինքն x-ի դրական և բացասական արժեքները դիտարկել առանձին-առանձին։

    Գծագիր 14

    Եթե x=g(y) ֆունկցիան հանդիսանում է y=f(x) ֆունկցիայի հակադարձը, ապա պարզ է, որ այդ երկու ֆունկցիաների գրաֆիկները համընկնում են։ Սակայն, կարելի է պահանջել, որպեսզի նաև հակադարձ ֆունկցիայի արգումենտը նշանակվի x տառով, այսինքն՝ x=g(y) ֆունկցիայի փոխարեն դիտարկվի y=g(x)-ը։ Այդ դեպքում պետք է միայն հորիզոնական առանցքն անվանել y-ների առանցք, իսկ ուղղաձիգ առանցքը x-երի առանցք․ գրաֆիկը, այնուամենայնիվ, կմնա նախկինը։ Իսկ եթե ցանկանանք, որպեսզի x-երի (նոր) առանցքը, ըստ սովորության, հորիզոնական լինի, իսկ y-ների (նոր) առանցքը՝ ուղղաձիգ․ ապա հարկ կլինի այդ առանցքները մեկը մյուսի տեղը դնել, որն արդեն կփոխի գրաֆիկը։ Այդ իրականացնելու համար ամենից հեշտ կլինի գծագրի xoy հարթությունը պտտել առաջին կոորդինատային անկյան կիսորդի շուրջը 180 աստիճանով (գծագիր 15)։


    Գծագիր 15

    Այսպիսով, y=g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկն ստացվում է որպես y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի հայելապատկեր այդ կիսորդի նկատմամբ։ Օրինակ 10-րդ և 11-րդ գծագրերից անմիջապես երևում է, որ նրանցից մեկը մյուսից ստացվել է հենց այդ եղանակով։ Ճիշտ նման ձևով, ելնելով վերոհիշյալ դատողություններից, հեշտ է բացատրել 8-րդ և 9-րդ գծագրերից յուրաքանչյուրի սիմետրիկությունը (անկյան կիսորդի նկատմամբ)։

     

    Գծագիր 8

    Գծագիր 9

    Գծագիր 10

    Գծագիր 11

    2019 www.alphazero.ru