Հոդվածների այցերի քանակը
103417

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Ի լրացումն պարզագույն տարրական ֆունկցիաների (ծանոթ լինելով հակադարձ ֆունկցիայի գաղափարի հետ) դասում հիշատակված տարրական ֆունկցիաների դասերի՝ այժմ դիտարկենք՝

6․ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝

y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx,

y=arcctgx, (y=arcscx, arccscx):

Նախ կանգ առնենք սրանցից առաջինի վրա։ y=sinx ֆունկցիան որոշված է X=(-∞,+∞) միջակայքում, ընդ որում նրա արժեքներն անընդմեջ լրացնում են Y=[-1,1] միջակայքը։ x-երի առանցքին զուգահեռ ուղիղը սինուսոիդը, այսինքն՝ y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը (գծագիր 12)․ հատում է անվերջ բազմությամբ կետերում․ այլ խոսքով, [-1,1] միջակայքից վերցրած y-ի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում են x-ի անվերջ բազմությամբ արժեքներ։ Հետևապես, հակադարձ ֆունկցիան, որը նշանակում են

x=Arcsiny,


Գծագիր 12

կլինի բազմարժեք (անվերջարժեք)։

Սովորաբար դիտարկում են այդ ֆունկցիայի միայն մեկ ճյուղը, որը համապատասխանում է x-ի փոփոխմանը π/2-ի և π/2-ի միջև․ [-1,1]-ից վերցրած y-ի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում է x-ի միայն մեկ արժեք այդ սահմաններում։ Այդ ճյուղը նշանակում են այսպես՝

x=arcsiny

և անվանում են արկսինուսի գլխավոր արժեք։

Սինուսոիդը պտտելով առաջին կոորդինատային անկյան կիսորդի շուրջը (գծագիր 16) կստանանք y=Arcsinx բազմարժեք ֆունկցիայի գրաֆիկը, անընդհատ կորով առանձնացված է նրա գլխավոր ճյուղի՝ y=arcsinx-ի գրաֆիկը, որը միարժեք կերպով որոշված է x-ի արժեքների [-1,1] միջակայքում և բավարարում է

-π/2arcsinxπ/2

անհավասարությունը, որը և բնութագրում է այդ ճյուղը մյուս ճյուղերի թվում։

Տարրական եռանկյունաչափությունից վերհիշելով, թե տրված սինուսն ունեցող անկյունների բոլոր արժեքներն ինչպես են արտահայտվում այդ արժեքներից մեկի միջոցով, հեշտ է գրել այն բանաձևերը, որոնք արտահայտում են արկսինուսի բոլոր արժեքները՝

Arcsinx=arcsinx+2kπ կամ Arcsinx=(2k+1)π-arcsinx (k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)

Նման դատողությունները կիրառելի են նաև y=cosx (-∞<x<+∞) ֆունկցիայի նկատմամբ։ Այստեղ ևս

y=Arccosx (-1≤x≤1)

Հակադարձ ֆունկցիան՝ բազմարժեք (անվերջարժեք) է (տես գծագիր 12)։ Միարժեք ճյուղն առանձնացնելու համար ֆունկցիան ենթարկում են հետևյալ պայմանին՝

0≤arccosx≤π

Այս՝ արկսինուսի գլխավոր ճյուղն է։

Arccos x ֆունկցիան arcsin x-ի հետ կապված է

arccos x = π/2 – arcsin x

ակնհայտ առընչությամբ․ իրոք, ոչ միայն π/2-arcsinx անկյան կոսինուսն հավասար է sin(arcsinx)=x, այլև անկյունն ինքը գտնվում է հենց 0-ի և π-ի միջև։ Arccos x-ի բոլոր արժեքները նրա գլխավոր արժեքի միջոցով արտահայտվում են հետևյալ բանաձևով՝

Arccosx = 2πk±arccosx (k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)

y=tgx ֆունկցիան որոշված է x-ի բոլոր արժեքների համար, բացի x=(2k+1)π/2 (k=...,-2,-1,0,1,2,...) արժեքներից։ Այստեղ y-ի արժեքները լրացնում են (-∞, +∞) միջակայքը, ընդ որում y-ի յուրաքանչյուր արժեքին դարձյալ համապատասխանում են x-ի անվերջ բազմությամբ արժեքներ (տես գծագիր 13)։ Այդ պատճառով x=Arctgy հակադարձ ֆունկցիան, որը տրված է (-∞;+∞) միջակայքում, կլինի բազմարժեք (անվերջարժեք)։ 17-րդ գծագրի վրա պատկերված է y=Arctg x ֆունկցիայի գրաֆիկը, որն ստացվել է y=tgx ֆունկցիայի գրաֆիկն առաջին կոորդինատային անկյան կիսորդի շուրջը 180 աստիճանի անկյունով պտտելով։ Որպես արկտանգեսի գլխավոր արժեք՝ arctgx ընդունում են այդ բազմարժեք ֆունկցիայի արժեքներից այն, որը բավարարում է

-π/2 < arctg x < π/2

անհավասարություններին։

Գծագիր 13

Այսպես որոշվում է միարժեք ֆունկցիա՝ արկտանգեսի գլխավոր ճյուղը, որը տրված է x-ի բոլոր արժեքների համար։ Արկտանգեսի մյուս արժեքներին, ինչպես հեշտ է ցույց տալ, ստացվում են այսպես՝

Arctg x = arctg x + kπ (k= …, -2, -1, 0, 1, 2, …)

Դժվար չէ arctg x և arcsin x ֆունկցիաների միջև անմիջական կապ հաստատել՝

\[arctg x = arcsin \frac {x}{\sqrt{1+x^2}}\]
 կամ
\[arcsin x = arctg \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\]

Օրինակ, եթե ընդունենք a=arctgx, այնպես որ tga=x, ապա

\[sin a = \frac {tg a}{\sqrt {1+tg^2 a}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\]

ընդ որում արմատը վերցվում է դրական նշանով, որովհետև -π/2 < a < π/2. Այստեղից էլ հենց բխում է, որ

\[a=arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}:\]

 


Գծագիր 17

Հիշենք նաև Arcctg x (-∞<x<+∞) ֆունկցիայի մասին․ նրա գլխավոր արժեքը որոշվում է

0< arcctg x<π

անհավասարություններով և arctg x-ի հետ կապված է

arcctg x = π/2 – arctg x

առնչությամբ։

Արկկոտանգեսի մյուս արժեքներն ունեն այսպիսի տեսք՝

Arcctg x = arcctg x + kπ (k= …, -2, -1, 0, 1, 2, …)

arcsec x (-∞<x≤-1 և 1≤x<+∞) և arccsc x (փոփոխականների նույն միջակայքով) ֆունկցիաների վրա կանգ չենք առնի, նրանց հետազոտումը թողնելով ընթերցողին։

 

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019

 

Ստեղծել վեբ կայք ukit համակարգում

Free Joomla! templates by AgeThemes