Օգտվողներ
38
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
62103

Անվերջ փոքր մեծություններ

Այն դեպքը, երբ փոփոխականը ձգտում է զրոյի՝ xn->0, առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում։

Զրո սահման ունեցող xn փոփոխականը կոչվում է անվերջ փոքր մեծություն, կամ պարզապես՝ անվերջ փոքր։

Եթե փոփոխականի սահմանի սահմանման մեջ ընդունենք a=0, ապա անհավասարությունը կընդունի այսպիսի տեսք՝

|xn-0|=|x|<e (երբ n>Ne

Այսպիսով, անվերջ փոքրի վերոհիշյալ սահմանումը կարելի է առանց «սահման» տերմինը գործածելու ձևակերպել այսպես՝

xn փոփոխականը կոչվում է անվերջ փոքր, եթե նա, սկսած մի որոշ համարից, իր բացարձակ մեծությամբ դառնում է և այնուհետև մնում ավելի փոքր, քան նախապես վերցրած ցանկացած չափով փոքր e>0 թիվը։

Ոչ լիովին հաջող (պատմականորեն ստեղծված) «անվերջ փոքր» մեծություն տերմինն ընթերցողին չպետք է մոլորության մեջ գցի․ այդ մեծության արժեքներից ոչ մեկն առանձին վերցրած չի կարող որակվել իբրև «փոքր», եթե ինքը հենց զրո չէ։ Հարցը նրանումն է, որ այդ մեծությունը փոփոխական մեծություն է, որը միայն իր փոփոխման ընթացքում է ընդունակ դառնալու ավելի փոքր, քան կամայապես վերցրած e>0 թիվը։

Եթե վերադառնանք ընդհանուր դեպքին, երբ xn փոփոխականն ունի a սահմանը, ապա փոփոխականի և իր սահմանի միջև տարբերությունը՝

an=xn-a,

ակներևաբար կլինի անվերջ փոքր, քանի որ |xn-a|<e անհավասարության շնորհիվ՝

|an|=|xn-a|<e (երբ n>Ne):

Հակադարձաբար, եթե an-ը անվերջ փոքր է, ապա xn->a: Այսպիսով՝ գալիս ենք հետևյալ եզրակացությանը՝

Որպեսզի a հաստատուն թիվը լինի xn փոփոխականի սահմանը, անհրաժեշտ է և վավարար, որ նրանց xn-a=an տարբերությունը լինի անվերջ փոքր։

Այդ կապակցությամբ «սահման» գաղափարի համար ևս կարելի կլիներ ձևակերպել մի ուրիշ (նախկինին համարժեք) սահմանում՝

a հաստատուն թիվը կոչվում է xn փոփոխականի սահման, երե նրանց տարբերությունն անվերջ փոքր մեծություն է։

Հասկանալի է, որ եթե ելնենք սահմանի այս վերջին սահմանումից, ապա անվերջ փոքրի համար պետք է ընդունել վերևում բերված երկու սահմանումներից երկրորդը։ Այլապես կստացվեր կախարդական շրջան․ սահմանը կորոշվեր անվերջ փոքրի միջոցով, իսկ անվերջ փոքրը՝ սահմանի միջոցով։

Այսպես, ուրեմն, եթե փոփոխական xn ->a, ապա նա կարող է ներկայացվել այսպես՝

xn=a+an

այստեղ an-ը անվերջ փոքր է, և հակադարձաբար, եթե xn փոփոխականը հնարավոր է այդպես ներկայացնել, ապա նա ունի a սահմանը։ Սրանից հաճախ են օգտվում պրակտիկայում փոփոխականի սահմանը որոշելիս։

Free Joomla! templates by AgeThemes