Անվերջ մեծ մեծություններ

    Անվերջ փոքր մեծություններին, որոշ իմաստով, հակադրվում են անվերջ մեծ մեծությունները, կամ պարզապես՝ անվերջ մեծերը։

    xn փոփոխականը կոչվում է անվերջ մեծ, եթե նրա n-ի բացականաչափ մեծ արժեքների համար դառնում է և մնում բացարձակ արժեքով ավելի մեծ, քան նախապես տրված ցանկացած չափով մեծ E>0 թիվը՝

    |xn|>E (երբ n>NE)։

    Ինչպես և անվերջ փոքրի դեպքում, այստեղ ևս պետք է ընդգծել, որ անվերջ մեծ մեծության ոչ մի արժեքը առանձին վերցրած չի կարող համարվել որպես «մեծ»․ մենք այստեղ գործ ունենք փոփոխական մեծության հետ, որը միայն իր փոփոխման ընթացքում է ընդունակ վերջ ի վերջո դառնալու կամայապես վերցրած E թվից ավելի մեծ։

    Անվերջ մեծերի օրինակներ կարող են ծառայել հետևյալ փոփոխականները՝

    xn=n, xn=-n, xn= (-1)n+1n

    որոնք անցնում են թվերի բնական շարքով, բայց առաջինը պլյուս նշանով, երկրորդը՝ մինուս նշանով, իսկ երրորդը՝ մեկընդմեջ նշանը փոխելով։

    Ահա անվերջ մեծ մեծության մեկ օրինակ ևս՝

    xn=Qn, |Q|>1 դեպքում։

    Իրոք, ինչպիսին էլ լինի E>0 թիվը,

    |xn|=|Q|n>E

    անհավասարությունը բավարարվում է, հենց որ՝

    n log|Q|>logE, կամ n>logE / log|Q| (Քանի որ |Q|>1, ուստի log|Q|>0:)

    այնպես որ իբրև NE թիվ կարելի է վերցնել այս վերջին հարաբերության ամբողջ մասը՝

    NE=E( logE / log|Q| )

    Առանձնապես կարևոր են այն դեպքերը, երբ xn անվերջ մեծ մեծությունը (գոնե բավականաչափ մեծ n-երի համար) պահպանում է որոշակի նշան (+ կամ -)․ այդպիսի դեպքում, նշանին համապատասխան, ասում են, որ xn փոփոխականն ունի +∞ կամ -∞ սահմանը, ինչպես նաև՝ որ նա ձգտում է +∞ կամ -∞, և գրում են այսպես՝

    lim xn=+∞, xn->+∞

    կամ

    lim xn=+∞, xn->-∞:

    Կարելի էր այսպիսի դեպքերի համար տալ նաև անկախ սահմանում, |xn|>E անհավասարությունը փոխարինելով, նշված դեպքին, փոխարինելով՝

    xn>E կամ xn<-E,

    որտեղից արդեն բխում է, համապատասխանաբար, xn>0 կամ xn<0:

    Ակներև է, որ xn անվերջ մեծ մեծությունը ընդհանուր դեպքում բնութագրվում է |xn| ->+∞ առնչությամբ։

    Վերևում բերված անվերջ մեծ մեծությունների օրինակներից, ակներևորեն, xn=n փոփոխականը ձգտում է +∞, xn=-n փոփոխականը՝ -∞։ Ինչ վերաբերում է երրորդ փոփոխականին՝ xn=(-1)n+1n, ապա նրա մասին ոչ կարելի է ասել, թե նա ձգտում է +∞, ոչ էլ՝ թե նա ձգտում է -∞։

    Վերջապես, xn=Qn փոփոխականի մասին Q>1 դեպքում կարելի է ասել, որ նա ձգտում է +∞․ երբ Q<1, նա սահման չունի։

    -∞, +∞ «անիսկական թվերին» մենք արդեն հանդիպել ենք թվային բազմությունների եզրերը ուսումնասիրելիս․ հարկավոր է նշել, որ նրանց գործածությունը զուտ պայմանական իմաստով է և զգույշ լինել նրանց հետ նրանց հետ թվաբանական գործողություններ կատարելիս։

    Հաճախ +∞ փոխարեն գրում են ուղղակի ∞։

    Վերջում նշենք այն կապը, որ գոյություն ունի անվերջ մեծ և անվերջ փոքր մեծությունների միջև։

    Եթե xn փոփոխականն անվերջ մեծ է, ապա նրա հակադարձ մեծությունը՝ an=1/xn-ը կլինի անվերջ փոքր։

    Վերցնենք ցանկացած e>0 թիվը։ Անվերջ մեծի սահմանման համաձայն E=1/e թվին համապատասխան կգտնվի այնպիսի N համար, որ

    |xn|>1/e, հենց որ n>N:

    Այդ ժամանակ n-ի այդ նույն արժեքի համար, ակներևորեն, կլինի

    |an|<e

    որը և ապացուցում է մեր պնդումը։

    Նման ձևով կարելի է ապացուցել նաև հակադարձ պնդումը՝

    Եթե an փոփոխականը (զրոյի չհավասարվող) անվերջ փոքր է, ապա նրա հակադարձ մեծությունը՝ xn=1/an-ը կլինի անվերջ մեծ։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru