Ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը (հաջորդականություններով)

    Ձեզ կարող է հետաքրքրել ֆունկցիայի սահմանի այս սահմանումը։

    Դիտարկենք X={x} թվային բազմությունը։ a կետը կոչվում է այդ բազմության խտացման կետ, եթե այդ կետի ցանկացած (a-δ;a+δ) շրջակայքում (շրջակայքի սահմանումը այստեղ) կան x-ի՝ a-ից տարբեր արժեքներ X բազմությունից։ Խտացման կետն ինքն այդ ժամանակ կարող է պատկանել X բազմությանը կամ ոչ։ Օրինակ, եթե X=[a, b] կամ X=(a, b), ապա երկու դեպքում էլ a-ն X-ի համար խտացման կետ է, մինչդեռ առաջին դեպքում նա պատկանում է X-ին, իսկ երկրորդ դեպքում չի պատկանում։

    Ընդունելով, որ a-ն X բազմության համար խտացման կետ է, կարելի է, այն էլ անթիվ բազմության եղանակներով, X բազմության x թվերից (a-ից տարբեր) կազմել այնպիսի հաջորդականություն՝

    x1, x2, x3, ․․․, xn, …

    Որը ձգտի a սահմանին։ Իրոք, նախապես կազմելով գրոյի ձգտող դրական թվերի մի հաջորդականություն՝

    δ1>δ2>...>δn>... ->0

    a կետի յուրաքանչյուր (a-δn, a+δn) շրջակայքում (n=1, 2, 3, …) կգտնենք մեկական xn կետ X բազմությունից (a-ից տարբեր) քանի որ δn->0, և |xn-a|<δn, ուստի xn->a։

    Դիցուք այժմ X բազմությունում, որի համար a-ն խտացման կետ է, տրված է մի f(x) ֆունկցիա։ Հետաքրքրություն է ներկայացնում այդ ֆունկցիայի վարքը՝ x-ը a-ին ձգտելիս (կամ կարճ՝ a կետում) f(x) ֆունկցիան ունի A սահմանը (վերջավոր կամ անվերջ), եթե x անկախ փոփոխականը X-ից վերցրած x1, x2, x3, ․․․, xn, … տեսքի ինչպիսի հաջորդականությամբ էլ a սահմանին ձգտելու լինի, ֆունկցիայի համապատասխան արժեքների

    f(x1), f(x2), ..., f(xn),...

    հաջորդականությունը միշտ կձգտի A սահմանին։

    Այդ փաստը նշանակում են այսպես՝

     

    կամ՝ f(x)->a,երբ x->a։

    Այժմ ենթադրենք, թե X={x} բազմությունը պարունակում է x-ի ցանկացած չափով մեծ դրական արժեքներ․ այդպիսի դեպքում ասում են, որ +∞ -ը այդ բազմության խտացման կետ է։ Եթե +∞ կետի շրջակայք հասկանանք (d, +∞) միջակայքը, ապա մեր կողմից հենց նոր ստացված ենթադրությունը կարելի է նաև այսպես պատկերացնել․ +∞ կետի յուրաքանչյուր շրջակայքում պետք է գտնվեն կետեր X բազմությունից։

    Եթե այդ ենթադրությունը տեղի ունի, ապա կարելի է X բազմությունից առանձնացնել x1, x2, x3, ․․․, xn, … տեսքի այնպիսի հաջորդականություն, որն ունենա +սահմանը։ Իրոք, վերցնելով դեպի +ձգտող մի կամայական dn դրական փոփոխական, յուրաքանչյուր dn-ի (n=1, 2, 3, …) համար X ում կգտնենք մի xn արժեք, որը մեծ է dn-ից՝ xn>dn. ակներևորեն կունենանք՝ xn->+∞:

    Ենթադրելով, որ +X բազմության համար խտացման կետ է, դիտարկենք այդ տիրույթում որոշված մի f(x) ֆունկցիա։ Նրա համար x-ը +ձգտելիս սահմանի գաղափարը, այն է՝

     

    Կարելի է սահմանել ճիշտ այնպես, ինչպես վերևում, միայն a-ն փոխարինելով +∞-ով։

    Համանման ձևով սահմանվում է նաև f(x) ֆունկցիայի սահմանը, երբ x->-∞, այն է՝

     

    Այստեղ միայն նախապես պետք է ենթադրել, որ -∞-ը X բազմության համար խտացման կետ է, որի իմաստն ինքնին հասկանալի է։

    Վերջում ասենք նաև, որ բնական արգումենտի ֆունկցիայի համար անվերջ փոքր մեծության թեմայում և անվերջ մեծ մեծությունների թեմայում սահմանված տերմինաբանությունը տարածվում է ֆունկցիայի սահմանի՝ այստեղ դիտարկված ընդհանուր դեպքի վրա։ Երբ x-ը մի որոշ սահմանի ձգտելիս f(x) ֆունկցիան ձգտում է 0-ի, այդ ֆունկցիան անվանում են անվերջ փոքր մեծություն։ Եթե f(x) ֆունկցիան ձգտում է A վերջավոր սահմանի, f(x)-A տարբերությունը կլինի անվերջ փոքր և հակառակը։

    |f(x)|-ը +∞ ձգտելիս ֆունկցիան անվանում են անվերջ մեծ մեծություն։ Վերջապես, հեշտ է դիտարկվող դեպքի վրա տարածել նաև անվերջ մեծ մեծությունների թեմայի վերջում ապացուցված թեորեմները, որոնք կապ են հաստատում անվերջ փոքր և անվերջ մեծ մեծությունների միջև։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru