Ֆունկցիայի սահմանի մյուս սահմանումը (ε-δ լեզվով)

    x-ը a-ին ձգտելիս f(x) ֆունկցիայի սահմանի գաղափարը մենք կառուցեցինք հաջորդականության սահմանի գաղափարի հիման վրա, որն ավելի վաղ էինք ուսումնասիրել և ավելի տարրական է։ Կարելի է, սակայն, տալ ֆունկցիայի սահմանի մի այլ սահմանում, որն ամենեվին չի օգտագործում հաջորդականության սահմանի գաղափարը։

    Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ a և A թվերը երկուսն էլ վերջավոր են։ Այդ դեպքում ենթադրելով, որ a-ն f(x) ֆունկցիայի տրման X տիրույթի խտացման կետ է, ֆունկցիայի սահմանի նոր սահմանումը կարելի է ձևակերպել այսպես․

    x-ը a-ին ձգտելիս f(x) ֆունկցիան ունի A սահմանը, եթե յուրաքանչյուր ε>0 թվի համար կգտնվի այնպիսի δ>0 թիվ, որ

    |f(x)-A|<ε, հենց որ |x-a|<δ

    (որտեղ x-ը վերցրած է X-ից և a-ից տարբեր է)։

    Այս սահմանումը լիովին համարժեք է վերը՝ նախորդ դասի՝ հաջորդականություններով տրված սահմանմանը։ Այդ ապացուցելու համար նախ ենթադրենք, թե տեղի ունի հենց ներ ձևակերպված պայմանը և կամայապես վերցրած ε>0 թվին համապատասխանող δ>0 թիվը գտնված է։ X-ից առանձնացնենք մի x1, x2, x3, ․․․, xn, … կամայական հաջորդականություն, որը ձգտի a սահմանին (ընդ որում՝ բոլոր xn-երը a-ից տարբեր են)։ Հաջորդականության սահմանի սահմանման համաձայն, δ>0 թվին կհամապատասխանի մի այնպիսի N համար, որ N<n-երի դեպքում տեղի կունենա |xn-a|<δ անհավասարությունը և, հետևաբար նաև |f(x)-A|< ε անհավասարությունը։ Դրանով էլ ապացուցվում է, որ f(x1), f(x2), ..., f(xn),... հաջորդականությունը ձգտում է A սահմանին։ Այդպիսով, տեղի է ունենում նախկին սահմանման մեջ պահանջվող պայմանը։

    Այժմ ենթադրենք, թե ֆունկցիայի սահմանը գոյություն ունի ըստ նախկին սահմանման։ Որպեսզի ապացուցենք, որ միաժամանակ տեղի ունի նաև նոր սահմանման մեջ պահանջվող պայմանը, ենթադրենք հակառակը։ Այդ դեպքում մի որոշ ε>0 թվի համար գոյություն չեր ունենա համապատասխան δ>0 թիվ, այսինքն՝ ինչպիսի փոքր δ>0 թիվ էլ վերցնելու լինենք, միշտ կգտնվեր x փոփոխականի գոնե մեկ x' արժեք, (a-ից տարբեր), որի համար կլիներ՝

    |x'n-a|<δ և այնուամենայնիվ |f(x')-A|≥ε:

    կազմենք δn դրական թվերի՝ զրոյի ձգտող մի հաջորդականություն։ Հենց նոր ասածի շնորհիվ, յուրաքանչյուր δ=δn թվի համար կգտնվեր մի այնպիսի x'=x'n արժեք, որ կլիներ

    |x'n-a|<δn և այնուամենայնիվ |f(x'n)-A|≥ε:

    Եթե այս արժեքներից կազմենք հաջորդականություն՝

    x'1, x'2, x3,…, x'n, …

    ապա, քանի որ

    |x'n-a|<δn և δn->0,

    ուստի կունենայինք՝

    x'n->a:

    Այդ դեպքում, նախկին սահմանման համաձայն, ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներից կազմված

    f(x'1), f(x'2), f(x'3), …, f(x'n), …

    հաջորդականությունը պետք է ձգտի A սահմանին, որ հնարավոր չէր լինի, եթե մեր ենթադրությունը ճիշտ լիներ, քանի որ բոլրոր n=1, 2, 3, … համար կունենայինք |f(x'n)-A|≥ε: Ստացված հավասարությունը ցույց է տալիս, որ ճիշտ չէ մեր ենթադրությունն այն մասին, որ նոր սահմանման մեջ պահանջվող պայմանը իբր թե տեղի չունի։

    Սահմանի գաղափարի նոր սահմանումը հեշտ է ձևակերպել նաև այն դեպքերի համար, երբ a և A թվերից մեկը կամ երկուսն էլ հավասար են +∞ կամ -∞։ Օրինակի համար բերենք սահմանի գաղափարի մանրամասն սահմանումն այն դեպքի համար, երբ a=+∞ և A-ն վերջավոր է (կամ նույնպես =+∞).

    x-ը +∞ ձգտելիս f(x) ֆունկցիան ունի A վերջավոր սահմանը (կամ ձգտում է +∞), եթե յուրաքանչյուր ε>0 (E>0) թվի համար գտնվի այնպիսի d>0 թիվ, որ տեղի ունենա

    |f(x)-A|< ε (f(x)>E), հենց որ x>d

    (x-ը վերցրած է X բազմությունից)։

    Այս սահմանման համարժեքությունը «հաջորդականությունների լեզվով» արված սահմանմանը ապացուցվում է նույն ձևով, ինչպես և վերևում։

    Եթե այս սահմանումը կիրառենք xn փոփոխականի, որպես n անկախ փոփոխականի ֆունկցիայի նկատմամբ, երբ n->+∞, ապա մենք կվերադառնանք այդպիսի ֆունկցիայի սահմանի, կամ,որ միևնույնն է, հաջորդականության սահմանի ամենաառաջին սահմանմանը, որը տվել ենք հաջորդականության սահմանի սահմանման թեմայում և անվերջ մեծ մեծությունների թեմայում և որը մեզ համար ելակետ հանդիսացավ բոլոր դեպքերի համար (d թվի դերն այստեղ կատարում էր N համարը)։ Այսպիսով, այն ժամանակ, երբ ֆունկցիայի սահմանի սկզբնական սահմանումն այդ գաղափարը հանգեցնում էր հաջորդականության սահմանի գաղափարին, պարզվում է, որ հաջորդականության սահմանի սահմանումն էլ իր հերթին ընդհանրապես ֆունկցիայի սահմանի սահմանման մասնավոր դեպք է՝ նոր ձևով ձևակերպված։ Այն սահմանը, որն առաջ նշանակում էինք այսպես՝

     

    նոր ձևով պետք է գրվեր այսպես՝

     

    Ի դեպ, միշտ կարելի է n ->+∞ նշումը մեզ մետ կարելի է բաց թողնել առանց թյուրիմացությունից վախենալու, քանի որ այստող սահմանային անցման ոչ մի այլ դեպք հասկացվել չի կարող․ n բնական արգումենտի փոփոխման N տիրույթը ունի + միայկ խտացման կետը։

    Չնայած a-ի և A-ի վերաբերյալ արված տարբեր ենթադրությունների դեպքում ֆունկցիայի սահմանի (նոր ձևով ձևակերպված) սահմանումների տարվերությանը, նրանց իմաստը նույնն է․ ֆունկցիան պետք է գտնվի իր A սահմանի ցանկացած «շրջակայքում», հենց որ անկախ փոփոխականը գտնվի իր a սահմանի համապատասխանորեն ընտրված «շրջակայքում»։

    Այսպիսով, անալիզում կարևոր նշանակություն ունեցող գաղափարի՝ ֆունկցիայի սահմանի գաղափարի համար մենք ունենք երկու համարժեք սահմանումներ․ հարմարությունից հախված, մենք հետագայում օգտվելու ենք մերթ մեկ, մերթ մյուս սահմանումից։