Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Իռացիոնալ թվի սահմանումը

Մենք իռացիոնալ թվերի տեսությունը կշարադրենք, հետևելով Դեդեկենդին: Այդ տեսության հիմքում ընկած է ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ առաջացվող հատույթների գաղափարը: Դիտարկենք բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության տրոհումը երկու ոչ դատարկ (այսինքն՝ իրոք թեկուզ մեկական թիվ պարունակող) A և A' բազմությունների. այլ կերպ ասած, մենք ենթադրում ենք, որ՝

1. Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ ընկնում է A և A' մեկի և միայն մեկի մեջ:

Մենք այդպիսի տրոհումը հատույթ կանվանենք, եթե բավարարվի նաև հետևյալ պայմանը՝

2. A բազմության յուրաքանչյուր a թիվ փոքր է A' բազմության յուրաքանչյուր a' թվից:

A բազմությունը կոչվում է հատույթի ստորին դաս, A' բազմությունը՝ վերին դաս: Հատույթը նշանակելու ենք այսպես՝ A|A':

Հատույթի սահմանումից հետըում է, որ ամեն մի ռացիոնալ թիվ, որը փոքր է ստորին դասին պատկանող մի a թվից, նույնպես պատկանում է ստորին դասին: Նմանապես, ամեն մի ռացիոնալ թիվ, որը մեծ է վերին դասին պատկանող մի a' թվից, նույնպես պատկանում է վերին դասին:

Օրինակ 1. A դասը որոշենք որպես այն բոլոր a ռացիոնալ թվերի բազմություն, որոնք բավարարում են a<1 անհավասարությունը, իսկ A' բազմության մեջ գցենք այն բոլոր a' թվերը, որոնք մեծ կամ հավասար են 1 -ից:

Հեշտ է ստուգել, որ այդպիսով մենք իրոք ստանում ենք հատույթ: 1 թիվը պատկանում է A' դասին և, ակներևորեն, հանդիսանում է նրա մեջ ամենափոքր ամբողջ թիվը: Մյուս կողմից, A դասում չկա ամենամեծ թիվ, քանի որ A բազմությունից ինչպիսի a թիվ էլ վերցնելու լինենք, միշտ հնարավոր է ցույց տալ այնպիսի a1 ռացիոնալ թիվ, որը գտնվում է a-ի և է -ի միջև, հետևաբար մեծ կլինի a-ից և նույնպես կպատկանի A դասին։

Օրինակ 2․ Ստորին A դասի մեջ գցենք այն բոլոր a ռացիոնալ թվերը, որոնք փոքր կամ հավասար են 1 -ից, իսկ վերին դասի մեջ՝ 1-ից մեծ բոլոր a' ռացիոնալ թվերը։

Սա նույնպես հատույթ կլինի, ընդ որում այստեղ վերին դասում չկա ամենափոքր թիվ, իսկ ստորին դասում կա ամենամեծ (1 թիվը)։

Օրինակ 3․ A դասի մեջ գցենք բոլոր բացասական ռացիոնալ թվերը, 0 թիվը և այն բոլոր դրական ռացիոնալ a թվերը, որոնց համար a2<2, իսկ A' դասի մեջ՝ այն բոլոր դրական ռացիոնալ a' թվերը, որոնց համար a'2>2:

Ինչպես հեշտ է համոզվել, մենք դարձյալ հատույթ ստացանք։ Այստեղ ոչ A դասում կա ամենամեծ թիվ, ոչ A' դասում՝ ամենափոքր թիվ։ Ապացուցենք այդ պնդումներից, օրինակ, առաջինը (երկրորդն ապացուցվում է նման եղանակով)։ Դիցուք  a-ն A դասի որևէ դրական թիվ է, այնպես որ  a2<2: Ցույց տանք, որ կարելի է ընտրել այնպիսի n դրական ամբողջ թիվ, որպեսզի

(a + 1/n)2<2

այնպես, որ a + 1/n թիվը նույնպես պատկանի A դասին։ Այդ անհավասարությունը համարժեք է հետևյալ անհավասարություններին՝

a2 + 2a/n + 1/n2 < 2

2a/n + 1/n2 < 2-a2:

Վերջին անհավասարությունը տեղի ունենալու համար բավական  է տեղի ունենա ավելի պարզ անհավասարություն․

(2a + 1)/n < 2 - a2,

որի համար բավական է վերցնել

n > (2a + 1)/(2 - a2):

Այսպես, ուրեմն, ինչպիսին էլ լինի A դասին պատկանող a դրական թիվը, նույն A դասում կգտնվի a - ից մեծ թիվ։ Քանի որ բացասական a - երի և 0 թվերի համար այդ պնդումն ակներև է, ապա A դասի ոչ մի թիվ նրա մեջ ամենամեծը չէ։

 Հեշտ է հասկանալ, որ չի կարող գոյություն ունենալ այնպիսի հատույթ, որի համար միաժամանակ գտնվի ստորին դասում ամենամեծ a0 թիվ, իսկ վերին դասում՝ ամենափոքր a'0 թիվ։  Իսկապես, ենթադրենք, թե գոյություն ունի այդպիսի հատույթ։ Այդ դեպքում a0-ի և a'0 -ի միջև վերցնենք որևէ c ռացիոնալ թիվ՝ a0<c<a'0: Այդ c թիվը չի չի կարող պատկանել A դասին, այլապես a0 - ն չէր լինի ամենամեծ թիվն այդ դասում․ նմանապես c թիվը չի կարող պատկանել A' դասին, իսկ այդ հակասում է հատույթի սահմանման մեջ մտնող 1-ին հատկությանը։

Այսպիսով, հատույթները կարող են լինել միայն երեք տեսակի, որոնք լուսաբանվում են հենց 1, 2, 3 օրինակներով․

1․ կամ A ստորին դասում չկա ամենամեծ թիվ, իսկ A' վերին դասում կա ամենափոքր r թիվ,

2․ կամ A ստորին դասում կա ամենամեծ r թիվ, իսկ A' վերին դասում չկա ամենափոքր թիվ,

3․ կամ, վերջապես, ոչ ստորին դասում կա ամենամեծ թիվ, ոչ վերին դասում՝ ամենափոքր թիվ։

Առաջին երկու դեպքերում ասում ենք, որ հատույթն առաջանում է r ռացիոնալ թվի միջոցով (որը A և A' դասերի միջև սահմանազատիչ թիվ է հանդիսանում) կամ՝ որ հատույթը որոշում է r ռացիոնալ թիվը։ 1 և 2 օրինակներում այդպիսի r թիվը 1-ն էր։ Երրորդ դեպքում սահմանազատիչ թիվ չկա, հատույթը ոչ մի ռացիոնալ թիվ չի որոշում։ Այժմ մուծենք նոր օբյեկտներ՝ իռացիոնալ թվեր, պայմանավորվելով ասել, որ 3․ տեսակի ամեն մի հատույթ որոշում է մի որոշ α իռացիոնալ թիվ։ Այդ α թիվը փոխարինում է պակասող սահմանազատիչ թվին․ մենք կարծես թե այն տեղավորում ենք A դասի բոլոր a թվերի և A' դասի բոլոր a' թվերի միջև։ 3-րդ օրինակում այդպիսի նոր ստեղծված թիվ կլինի, ինչպես հեշտ է կռահել, հենց արմատ 2 -ը։

 Իռացիոնալ թվերի համար միատիպ նշանակումներ չմուծելով, մենք α իռացիոնալ թվերի բազմության մեջ առաջացող այն A|A' հատույթի հետ, որը որոշում է այդ թիվը։ 

Միակերպության տեսակետից հաճախ հարմար կլինի նույն բանը կատարել նաև r  ռացիոնալ թվի նկատմամբ։ Սակայն յուրաքանչյուր r ռացիոնալ թվի համար գոյություն ունեն այդ թիվը որոշող երկու հատույթներ․ երկուսի համար էլ r>a թվերը պատկանում են ստորին դասին, r<a թվերը՝ վերին դասին, իսկ r թիվն ինքը մեր ցանկուցյամբ կարող է մտցվել կամ ստորին դասի մեջ (այն ժամանակ նա այնտեղ կլինի ամենամեծը), կամ վերին դասի մեջ (նա այնտեղ կլինի ամենափոքրը)։ Որոշակիության համար մենք ընդմիշտ պայմանավորվենք՝ r ռացիոնալ թիվը որոշող հատույթի մասին խեսելիս այդ թիվը մտցնել վերին դասի մեջ։

Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերն ստացել են իրական թվեր ընդհանուր անունը։ Իրական թվի գաղափարը մաթեմատիկական անալիզի ինչպես և ընդհանրապես ողջ մաթեմատիկայի հիմնական գաղափարներից մեկն է։

Free Joomla! templates by AgeThemes