Ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները

    Մենք գիտենք, որ թվային անվերջ բազմությունը, թեկուզ և նա սահմանափակ լինի, կարող է յուր կազմում չունենալ ամենամեծ (ամենափոքր) էլեմենտ։ Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված և նույնիսկ սահմանափակ է x-ի փոփոխման մի որոշ միջակայքում, ապա նրա արժեքների {f(x)} բազմության կազմում կարող է չգտնվել կարող է չգտնվել ամենամեծ (ամենափոքր) արժեք։ Այդ դեպքում f(x) ֆունկցիան վերոհիշյալ միջակայքում չի հասնում արժեքների վերին (ստորին) ճշգրիտ եզրին։ Այդպես կլինի, օրինակ,

    f(x)=x-E(x)

    ֆունկցիայի հետ այս գրաֆիկը պատկերված է նկարում։ Երբ x-ը փոփոխվում է ցանկացած [0, b], b>1 միջակայքում, ֆունկցիայի արժեքների վերին ճշգրիտ եզր կլինի 1-ը, սակայն դա անհասանելի է, այնպես որ ֆունկցիան մեծագույն արժեք չունի։

    Ընթերցողին, հավանաբար, պարզ է այս հանգամանքի կապը դիտարկվող ֆունկցիայի խզումների առկայության հետ՝ x-ի բնական արժեքների դեպքում։ Իրոք, փակ միջակայքում անընդհատ ֆունկցիայի համար տեղի ունի՝

    Վայերշտրասի երկրորդ թեորեման։ Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում, ապա նա այդ միջակայքում հասնում է իր վերին և ստորին ճշգրիտ եզրերին։

    Այլ խոսքով, [a, b] միջակայքում կգտնվեն այնպիսի x=x0 և x=x1 կետեր, որ f(x0) և f(x1) արժեքները համապատասխանաբար կլինեն f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքների մեջ մեծագույնը և փոքրագույնը։

    Ապացուցում։ Նշանակենք՝

    M=sup{f(x)}.

    ըստ նախորդ թեորեմայի, այդ թիվը վերջավոր է։ Ենթադրենք (հակառակ նրան, ինչ պետք է ապացուցել), որ միշտ f(x)<M, այսինքն՝ M ճշգրիտ եզրն անհասանելի է։ Այդ դեպքում կարելի է դիտարկել

    \[φ(x)=\frac{1}{M-f(x)}\]

    օժանդակ ֆունկցիան։ Քանի որ, ըստ ենքադրության, այստեղ հայտարարը զրո չի դառնում, ուստի այդ ֆունկցիան անընդհատ է, և հետևապես (ըստ նախորդ թեորեմայի), սահմանափակ է՝ φ(x)≤μ (μ>0): Բայց այստեղից հեշտ է ստանալ, որ այդ դեպքում՝

    f(x)≤M-1/μ,

    այսինքն՝ M-1/μ թիվը, որը M-ից փոքր է, պարզվեց, որ f(x) ֆունկցիայի արժեքների վերին եզր է, որ չի կարող լինել, որովհետև M-ն այդ արժեքների վերին ճշգրիտ եզրն է։ Ստացված հակասությունն ապացուցում է թեորեման՝ [a, b] միջակայքում կգտնվի այնպիսի x0 արժեք, որ f(x0)=M արժեքը կլինի f(x)-ի բոլոր արժեքներից մեծագույնը։

    Նույն ձևով կարելի է ապացուցել նաև փոքրագույն արժեքի վերաբերյալ պնդումը։

    Նշենք, որ բերված ապացուցումը զուտ «գոյության ապացույց» է։ Օրինակ․ x=x0 արժեքը հաշվելու ոչ մի եղանակ չի տրված։ Հետագայում, ճիշտ է, ֆունկցիայի նկատմամբ ավելի խիստ ենթադրությունների դեպքում, մենք կսովորենքփաստորեն գտնել անկախ փոփոխականի այն արժեքները, որոնք ֆունկցիային տալիս են մեծագույն կամ փոքրագույն արժեքներ։

    Եթե f(x) ֆունկցիան x-ը որևէ X միջակայքում փոփոխվելիս սահմանափակ է, ապա նրա տատանում այդ միջակայքում անվանում են վերին և ստորին ճշգրիտ եզրերի՝

    ω=M-m

    տարբերությունը։ ω տատանումը կարելի է սահմանել նաև որպես

    |f(x'')-f(x')|

    տարբերությունների վերին ճշգրիտ եզր, որտեղ x'-ը և x''-ը՝ X միջակայքում ընդունում են իրարից անկախ կամայական արժեքներ, այսինքն՝

    ω=sup{|f(x'')-f(x')|}:

    Երբ խոսքը վերաբերվում է X=[a, b] փակ վերջավոր միջակայքում անընդհատ f(x) ֆունկցիային, ապա, ինչպես հետևում է ապացուցված թեորեմայից, տատանումը պարզապես կլինի այդ միջակայքում ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքների տարբերությունը։

    Այդ դեպքում ֆունկցիայի արժեքների՝ [m, M] փակ միջակայքն է, և տատանումը տալիս է նրա երկարությունը։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru