Կորին շոշափող տանելու խնդիրը

    Դիցուք տրված է (K) կորը (գծագիր 32) և նրա վրա M կետը․ դիմենք M կետում կորի շոշափողի գաղափարի սահմանմանը։

    Գծագիր 32-33

    Դպրոցական դասընթացում շրջանագծի շոշափողը սահմանում են որպես այնպիսի «ուղիղ, որը կորի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ»։ Սակայն այս սահմանումը ունի մասնակի բնույթ և չի բացահայտում գործի էությունը։ Եթե փորձենք այդ կիրառել, օրինակ, y=ax2 պարաբոլի նկատմամբ (գծագիր 33ա), ապա կոորդինատների O սկզբնակետում կոորդինատային երկու առանցքներն էլ կհամապատասխանեն այդ սահմանմանը․ այնինչ, ինչպես հավանաբար անմիջապես պարզ է նաև ընթերցողին, իրականում միայն x-երի առանցքն է ծառայում որպես պարաբոլի շոշափող O կետում։

    Մենք հիմա կտանք շոշափողի ընդհանուր սահմանումը։ (K) կորի վրա (գծագիր 32) վերցնենք M կետից բացի նաև M1 կետ և տանենք MM1 հատողը։ Երբ M1 կետը կորի վրայով տեղափոխվի, այդ հատողը կպտտվի M կետի շուրջը։

    M կետում (K) կորի շոշափող կոչվում է MM1 հատողի MT սահմանային դիրքը, երբ M1 կետը կորի վրայով ձգտում է համընկնել M կետի հետ։ Այս սահմանման իմաստը կայանում է նրանում, որ M1MT անկյունը ձգտում է զրոյի, հենց որ զրոյի է ձգտում MM1 լարը։

    Օրինակի համար, այս սահմանումը կիրառենք y=ax2 պարաբոլի նկատմամբ, նրա M(x, y) կամայական կետում։ Քանի որ շոշափողն անցնում է այդ կետով, ուրեմն նրա դիրքը որոշելու համար բավական է իմանալ նաև նրա անկյունային գործակիցը։ Մենք էլ հենց նպատակ ենք դնում գտնել M կետում շոշափողի tgα անկյունային գործակիցը։

    x աբսցիսին տալով Δx աճ, կորի M կանցնենք M1 կետին, որի աբսցիսն է x+Δx և օրդինատը՝

    y+Δy=a(x+Δx)2

    (գծագիր 33ա)։ MM1 հատողի tgφ անկյունային գործակիցը կորոշի tgφ անկյունային գործակիցը կորոշվի MNM1 ուղղանկյուն եռանկյունից։ Սրա MN էջը հավասար է աբսցիսի Δx աճին, իսկ NM1 էջը, ակներևաբար, օրդինատի համապատասխան

    Δy=a(2xΔx+Δx2)

    աճն է, այնպես որ՝

    \[tg φ=\frac{Δy}{Δx}=2ax+2aΔx:\]

    Շոշափողի անկյունային գործակիցն ստանալու համար, ինչպես հեշտ է հասկանալ, պետք է այստեղ անցնել սահմանին, երբ Δx->0, քանի որ հենց այդ էլ համարժեք է այն բանին, որ MM1 ->0։ Այդ ժամանակ φ->α և (tgφ ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ) tgφ->tgα:
    \[tgα= \lim_{Δx \to 0}(a2x+aΔx)=2ax:\]

    Ցանկացած կորի դեպքում, որի հավասարումն է y=f(x), շոշափողի անկյունային գործակիցը ստացվում է նույն ձևով։ Աբսցիսի Δx աճին համապատասխանում է օրդինատի Δy աճ, և

    Δy/Δx

    հարաբերությունը արտահայտում է հատողի անկյունային գործակիցը՝ tgφ-ն։Իսկ շոշափողի անկյունային գործակիցն այստեղից ստացվում է սահմանային անցման միջոցով, երբ Δx->0, այսինքն՝

    \[tgα=\lim_{Δx \to 0}tgφ=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}:\]