Ֆունկցիայի աճի բանաձևը

    Այստեղ ապացուցենք երկու պարզ առաջադրություն, որոնք կկիրառվեն հետագայում։

    Դիցուք y=f(x) ֆունկցիան որոշված է X միջակայքում։ Ելնելով այդ միջակայքի x=x0 որոշակի արժեքից, x-ի կամայական աճը նշանակենք Δx≠0, պայմանով, որ x0+Δx կետը դուրս չգա X-ի սահմաններից։ Այդ դեպքում ֆունկցիայի համապատասխան աճը կլինի՝

    Δy=Δf(x0)=f(x0+Δx)-f(x0):

    1. Եթե y=f(x) ֆունկցիան x0 կետում ունի y'x =f'(x0) (վերջավոր) ածանցյալ, ապա ֆունկցիայի աճը կարող է ներկայացվել այսպես՝

    Δf(x0)=f'(x0)Δx+αΔx

    կամ, ավելի կարճ՝

    Δy=y'x Δx +αΔx

    որտեղ α-ն Δx-ից կախված մեծություն է և նրա հետ միասին ձգտում է զրոյի։

    Քանի որ, հենց ածանցյալի սահմանման համաձայն Δx->0,

    Δy/Δx ->y'x

    ուստի նշանակելով

    α=Δy/Δx – y'x,

    տեսնում ենք, որ նաև α->0։ Այստեղից որոշելով Δy-ը, կստանանք պահանջվող բանաձևը։ Քանի որ αΔx մեծությունը (երբ Δx->0) կլինի Δx-ի նկատմամբ ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր, ուստի, օգտագործելով անվերջ փոքրերի բաղդատման դասում մուծված նշանակումը, կարելի է վերոհիշյալ բանաձևը գրել այսպես՝

    Δf(x0)=f'(x0)Δx+o(Δx):

    կամ այսպես՝

    Δy=y'x Δx +o(Δx):

    Դիտողություն։ Մինչև հիմա մենք համարում էինք Δx≠0, α մեծությունը Δx=0 արժեքի համար որոշված էլ չեր։ Երբ մենք ասում էինք, թե Δx-ը զրոյի ձգտելիս α-ն ձգտում է զրոյի, ապա (ինչպես սովորաբար) ենթադրում էինք, որ Δx-ը ձգտում է 0-ի ցանկացած օրենքով, սակայն չընդունելով զրո արժեք։ Այժմ ընդունենք α=0, երբ Δx=0. այդ դեպքում, հասկանալի է, Δf(x0)=f'(x0)Δx+o(Δx) բանաձևը ճիշտ կլինի նաև Δx=0 արժեքի համար։ Բացի այդ, Δx-ը զրոյի ձգտելիս α->0 առնչությունը կարելի է հասկանալ ավելի լայն իմաստով, քան առաջ, առանց բացառելու Δx-ի համար այն հնարավորությունը, որ նա զրոյի ձգտելիս մյուս արժեքների թվում ընդունի նաև զրո արժեքը։

    Ապացուցված բանաձևերից անմիջապես բխում է՝

    2․ Եթե y=f(x) ֆունկցիան x0 կետում ունի (վերջավոր) ածանցյալ, ապա այդ կետում ֆունկցիան անհրաժեշտաբար անընդհատ է։

    Իրոք, Δy=y'x Δx +αΔx-ից պարզ է, որ Δx->0-ից հետևում է՝ Δy->0: