Իրական թվերի գումարի սահմանումը և հատկությունները

    Դիցուք ունենք երկու a ու b իրական թվերը։ Դիտարկենք a'', a' և b'', b' ռացիոնալ թվերը, որոնք բավարարում են հետևյալ անհավասարություններին՝

    a''<a<a' և b''<b<b'

    a ու b թվերի a+b գումար անվանենք այնպիսի c թիվը, որը գտնվում է, մի կողմից a''+b'' տեսքի բոլոր գումարների և, մյուս կողմից a'+b' տեսքի բոլոր գումարների միջև՝

    a''+b''<c<a'+b':

    Նախ համոզվենք, որ a ու b իրական թվերի ամեն մի զույգի համար գոյություն ունի այդպիսի c թիվ։

    Դիտարկենք a''+b'' տեսքի բոլոր հնարավոր գումարների բազմությունը։ Այդ բազմությունը վերևից սահմանափակ է, օրինակ, a' + b' տեսքի ցանկացած գումարով։ Նշանակենք

    c=sup{a''+b''}

    Այդ ժամանակ a''+b''≤c և միաժամանակ c≤a'+b': Քանի որ, ինչպիսին էլ լինեն a''<a<a' և b''<b<b' պայմանին բավարարող a'', b'', a', b' ռացիոնալ թվերը, միշտ հնարավոր է, պահպանելով այդ պայմանները, a'' և b'' թվերը մեծացնել, իսկ a' և b' թվերը փոքրացնել, ուստի հենց նոր ստացված հավասարություն-անհավասարությունների մեջ իրականում ոչ մի դեպքում չի կարող հավասարություն լինել։ Այսպիսով c թիվը բավարարում է գումարի սահմանմանը։

    Սակայն, այժմ հարց է ծագում, թե արդյոք c=a+b գումարը a''+b''<c<a'+b' անհավասարություններով միարժեք է որոշվում։ Գումարի միակության մեջ համոզվելու համար ընտրենք a'', a', b'', b' թվերն այնպես, որպեսզի՝

    a'-a''<e և b'-b''<e,

    որտեղ e-ն կամայապես փոքր դրական ռացիոնալ թիվ է։ Այստեղից կստանանք`

    (a'+b')-(a''+b'')=(a'-a'')+(b'-b'')<2e

    Այսինքն՝ այս տարբերությունը ևս կարելի է ցանկացած չափով փաքր դարձնել (2e թիվը ամեն մի e'>0 թվից փոքր կդառնա, եթե վերցնենք e<e'/2):

    Այդ ժամանակ, 2-րդ լեմմայի համաձայն, a''+b'' և a'+b' գումարների միջև գոյություն ունի միայն մեկ թիվ։

    Նկատենք, վերջապես, որ եթե a+b -ի գումարելի թվերը երկուսն էլ ռացիոնալ թվեր են, ապա նրանց c=a+b սովորական գումարն, ակներևաբար, բավարարում է a''+b''<c<a'+b' անհավասարություններին։ Այսպիսով, երկու իրական թվերի գումարի վերաբերյալ վերևում տրված ընդհանուր սահմանումը չի հակասում երկու ռացիոնալ թվերի գումարի նախկին սահմանմանը։

    Իրական թվերի համար պահպանվում են գումարման բոլոր հիմնական հատկությունները՝

    1) a+b=b+a

    2) (a+b)+c=a+(b+c)

    3) a+0=a

    և, վերջապես,

    4)a>b պայմանից հետևում է՝ a+c>b+c:

    Այս հատկությունները դժվար չէ ապացուցել, հենվելով վերևում տրված գումարի սահմանման վրա և, հասկանալի է, ռացիոնալ թվերի հայտնի հատկությունների վրա․ դրա վրա մենք կանգ չենք առնելու։ Վերջին հատկության օգնությամբ արդարացվում է երկու անհավասարությունների անդամ առ անդամ գումարումը։

    2019 www.alphazero.ru