Թեյլորի բանաձև։ Ստացած բանաձևի կիրառումը տարրական ֆունկցիաների նկատմամբ

    Թեյլորի բանաձևն ամենից պարզ տեսք է ընդունում x0=0 դեպքում՝

    \[f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + … +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+r_n(x):\]

    Հարցը միշտ կարելի է հանգեցնել այս մասնավոր դեպքին, (x-x0)-ն ընդունելով վորպես նոր փոփոխական։

    Դիտարկենք տարրական ֆունկցիաների համար մի քանի կոնկրետ վերլուծումներ այդ բանաձևով։

    1) Դիցուք f(x)=ex. այդ ժամանակ ցանկացած k=1, 2, 3, … դեպքում

    \[f^{(k)}(x)=e^x:\]

    Քանի որ այդ դեպքում f(0)=1, f(k)(0)=1, ուստի Թեյլորի բանաձևով կստանանք՝

    \[e^x=1+ \frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+r_n(x):\]

    2) Եթե f(x)=sinx, ապա
    \[f^{(k)}(x)=\sin \left( x+\frac{k \pi }{2} \right)\]

    ուստի՝
    \[f(0)=0, \quad f^{(2m)}(0)= \sin m\pi =0\]

    \[f^{(2m-1)}(0)=\sin \left( m \pi-\frac{\pi }{2} \right)=(-1)^{m-1} \quad (m=1, 2, 3, ...)\]

    Այդ պատճառով Թեյլորի բանաձևի մեջ ընդունելով n=2m, կունենանք՝
    \[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-...+(-1)^{m-1} \frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+r_{2m}(x):\]

    3) Նույն ձևով, երբ f(x)=cosx, կունենանք՝
    \[f^{(k)}(x)= \cos \left( x+ \frac{k \pi}{2} \right), \quad f(0)=1\]

    \[f^{2m}(0)=(-1)^m, \quad f^{(2m-1)}(0) =0 \quad (m=1, 2, 3, … )\]

    Ուստի, եթե ընդունենք n=2m+1

    \[\cos x = 1- \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}- ...+(-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} + r_{2m+1}(x):\]

    4) Այժմ դիտարկենք xm աստիճանային ֆունկցիան, որտեղ m-ը ոչ բնական թիվ է, ոչ էլ զրո։ Այս դեպքում, երբ x->0, կամ ինքը ֆունկցիան (եթե m<0), կամ նրա ածանցյալները (սկսած որևէ կարգից, երբ n>m) անվերջ աճում են։ Հետևապես, այստեղ արդեն չի կարելի վերցնել x0=0:

    Վերցնենք x0=1, այսինքն՝ xm-ը վերլուծենք (x-1)-ի աստիճաններով։ Ի միջի այլոց, ինչպես արդեն ասվել է, որպես նոր փոփոխական կարելի է ընդունել (x-1)-ը։ Այդ փոփոխականը նախկինի նման դարձյալ նշանակենք x-ով և (1+x)m ֆունկցիան վերլուծենք x-ի աստիճաններով։

    Ինչպես գիտենք ածանցյալի ընդհանուր բանաձևերի դասից

    \[f^{(k)}(x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x)^{m-k},\]

    ուստի՝
    \[f(0)=1, \quad f^{(k)}(0)=m(m-1)...(m-k+1):\]

    Վերլուծումը կունենա հետևյալ տեսքը՝
    \[(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{1 \cdot 2}x^2+...+\frac{m(m-1)...(m-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3...n}x^n+r_n(x):\]

    5) Եթե անցնենք lnx լոգարիթմական ֆունկցիային, որը, երբ x->0, ձգտում է մինուս անվրջությանմ ապա, ինչպես և նախորդ օրինակում, նպատակահարմար կլինի դիտարկել f(x)=ln(1+x) ֆունկցիան և այն վերլուծել x-ի աստիճաններով։
    Այդ ժամանակ բարձր կարգի ածանցյալների դասից կունենանք՝

    \[f^{(k)}(x)= \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k},\]

    \[f(0)=0 \quad f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!,\]

    որտողից՝
    \[ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+r_n(x)\]

    6) Դիցուք, այժմ f(x)=arctgx: Բարձր կարգի ածանցյալների դասից հեշտ է ստանալ սրա ածանցյալների արժեքներն x=0 կետում՝

    \[f^{(2m)}(0)=0, \quad f^{(2m-1)}(0)=(-1)^{m-1}(2m-2)!,\]

    ուստի նրա վերլուծումը կներկայացվի այսպես՝
    \[arctg x = x-\frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5}-...+(-1)^{m-1} \frac{x^{2m-1}}{2m-1}+r_{2m}(x):\]

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru