Մաքսիմումներ և մինիմումներ․ անհրաժեշտ պայմանները

    Եթե [a, b] որոված ու անընդհատ f(x) ֆունկցիան այդտեղ մոնոտոն չէ, ապա կգտնվեն [a, b] միջակայքի [α, β] մասեր, որտեղ մեծագույն կամ փոքրագույն արժեքներին ֆունկցիան կհասնի ներքին կետում, այսինքն՝ α-ի և β-ի միջև։ Ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա (գծագիր 43) այդպիսի միջակայքերին

    համապատասխանում են յուրատեսակ ուռուցքներ կամ փոսեր։

    Ասում են, որ f(x) ֆունկցիան x0 կետում ունի մաքսիմում (կամ մինիմում), եթե այդ կետը կարելի է շրջապատել ֆունկցիայի որոշման միջակայքում գտնվող այնպիսի (x0-δ, x0+δ) շրջակայքով, որ այնտեղ բոլոր x կետերի համար տեղի ունենա

    f(x)≤f(x0) (կամ՝ f(x)≥f(x0))

    անհավասարությունը։

    Այլ խոսքով, x0 կետը f(x) ֆունկցիային տալիս է մաքսիմում (մինիմում), եթե f(x0) արժեքը հանդիսանում է այդ կետի մի որոշ (թեկուզ և փոքր) շրջակայքում ֆունկցիայի ստացած արժեքներից մեծագույնը (փոքրագույնը)։ Նշենք, որ մաքսիմումի (մինիմումի) սահմանումն ինքը ենթադրում է, որ ֆունկցիան տրված է x0 կետի երկու կողմերում։

    Եթե գոյություն ունի այնպիսի շրջակայք, որի սահմաններում (երբ x≠x0) տեղի ունի

    f(x)<f(x0) (կամ՝ f(x)>f(x0))

    Խիստ անհավասարությունը, ապա ասում են, որ ֆունկցիան x0 կետում ունի իսկական մաքսիմում (մինիմում), հակառակ դեպքում՝ անիսկական։

    Եթե ֆունկցիան x0 և x1 կետերում մաքսիմումներ ունի, ապա [x0, x1] միջակայքի նկատմամբ կիրառելով Վայերշտրասի երկրորդ թեորեման, կտեսնենք, որ այդ միջակայքում ֆունկցիան իր փոքրագույն արժեքին հասնում է x0 ի և x1 ի միջև գտնվող մի x2 կետում և այնտեղ նա ունի մինիմում։ Նույն ձևով, երկու մինիմումների միջև անպայման կգտնվի մաքսիմում։ Այն պարզագույն (և պրակտիկայում՝ կարևորագույն) դեպքում, երբ ֆունկցիան ընդհանրապես ունի միայն վերջավոր թվով մաքսիմումներ ու մինիմումներ, դրանք պարզապես իրար հաջորդում են։

    Նկատենք, որ մաքսիմումն ու մինիմումը նշանակելու համար գոյություն ունի նաև դրանք միասին արտահայտող տերմին՝ էքստրեմում։

    Խնդիր դնենք՝ գտնել արգումենտի բոլոր այն արժեքները, որոնք ֆունկցիային տալիս են եքստրեմում։ Այս խնդիրը լուծելիս հիմնական դեր է խաղալու ածանցյալը։

    Նախ ընդունենք, որ (a, b) միջակայքում f(x) ֆունկցիայի համար գոյություն ունի վերջավոր ածանցյալ։ Եթե x0 կետում ֆունկցիան ունի էքստրեմում, ապա Ֆերմայի թեորեման կիրառելով (x0-δ, x0+δ) միջակայքի նկատմամբ, որի մասին վերևում խոսեցինք, եզրակացնում ենք, որ f'(x)=0. հենց սրանում է կայանում էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը։ Էքստրեմում պետք է որոնել միայն այն կետերում, որտեղ ածանցյալը հավասար է զրոյի․ այդպիսի կետերը կանվանենք ստացիոնար կետեր։

    Սակայն չպետք է կարծել, թե ամեն մի ստացիոնար կետ ֆունկցիային տալիս է էքստրեմում․ հենց նոր նշված անհրաժեշտ պայմանը բավարար պայման չէ։ Օրինակ նախորդ դասերում մենք գիտենք, որ x3 ֆունկցիայի համար 3x2 ածանցյալը դառնում է զրո x=0 կետում, սակայն այդ կետում ֆունկցիան էքստրեմում չունի․ նա միշտ աճում է։

    Այսպիսով, f(x) ֆունկցիայի համար ստացիոնար կետը, այսպես ասած, միայն կասկածելի կետ է էքստրեմումի համար և ենթակա է հետագա ստուգման։

    Եթե ընդարձակենք դիտարկվող f(x) ֆունկցիաների դասը և ընդունենք, որ առանձին կետերում վերջավոր ածանցյալ գոյություն չունի, ապա չի բացառվում այն հնարավորությունը, որ էքստրեմում կարելի է ստանալ այդպիսի կետերից որևէ մեկում։ Այդ պատճառով այդպիսի կետերը նույնպես պետք է դասել էքստրեմումի համար կասկածելի կետերի շարքը և ստուգման ենթարկել։

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru