Հոդվածների այցերի քանակը
79247

Էքստրեմումի կետ լինելու կանոնները։ Երկրորդ կանոնը

Եթե x0-ն ստացիոնար կետ է՝

\[f'(x_0)=0\]

և f(x) ֆունկցիան ոչ միայն առաջին կարգի f'(x) ածանցյալ ունի այդ կետի շրջակայքում, այլև f''(x) երկրորդ ածանցյալ հենց x0 կետում, ապա ամբողջ ստուգումը կարելի է հանգեցնել այդ երկրորդ ածանցյալի նշանի դիտարկմանը, ենթադրելով, որ այն զրոյից տարբեր է։

Իրոք, ըստ ածանցյալի սահմանման, հաշվի առնելով f'(x0)=0 պայմանը, կունենանք՝

\[f''(x_0)= \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{x-x_0}\]

Բայց մեր անցած այս դասի 2-րդ թեորեմայի համաձայն
\[\frac{f'(x)}{x-x_0}\]

ֆունկցիան ընդունում է ու պահպանում է իր f''(x0) սահմանի նշանը, հենց որ x-ը (x0-ից տարբեր մնալով) բավականաչափ մոտ է գտնվում x0-ին։

Դիցուք, օրինակ, f''(x0)>0. այդ դեպքում

\[\frac{f'(x)}{x-x_0}\]

կոտորակը դրական է x-ի նշված բոլոր արժեքների համար։ Բայց x<x0 դեպքում հայտարարում x-x0<0, հետրաբար f'(x) ահմարիչը անհրաժեշտաբար նույնպես փոքր է զրոյից․ իսկ x>x0 դեպքում, ընդհակառակը, կունենանք x-x0>0, ուստի նաև f'(x)>0: Այլ խոսքով, ստացվում է, որ f'(x) ածանցյալը նշանը փոխում է մինուսից պլյուսի, իսկ այդպիսի դեպքում, արդեն ըստ առաջին կանոնի, x0 կետում կլինի մինիմում։ Նման ձևով ցույց է տրվում, որ f''(x0)<0 դեպքում x0 կետում առկա է մաքսիմում։

Այսպիսով, կարելի է ձևակերպել x0 «կասկածելի» արժեքի ստուգման երկրորդ կանոնը

x0 արժեքը ընդունում ենք f''(x) երկրորդ ածանցյալում․ եթե f''(x0)>0, ապա ֆունկցիան մինիմում ունի, իսկ եթե f''(x0)<0, ապա մաքսիմում ունի։

Այս կանոնը, ընդհանրապես ասած, կիրառման ավելի նեղ շրջան ունի․ այն, օրինակ, բացահայտ կերպով անկիրառելի է այն կետերի նկատմամբ, որտեղ առաջին կարգի վերջավոր ածանցյալ գոյություն չունի (քանի որ այդտեղ խոսք անգամ չի կարող լինել երկրորդ ածանցյալի մասին)։ Այն դեպքում, երբ երկրորդ ածանցյալը զրո է դառնում, կանոնը դարձյալ ոչինչ չի ասում։ Այդպիսի դեպքերում հարցի լուծումը կախված կլինի բարձր կարգի ածանցյալների վարքից։

Վերջին ավելացված նյութերը

Free Joomla! templates by AgeThemes