Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Էքստրեմումի կետ լինելու կանոնները։ Բարձր կարգի ածանցյալի օգտագործումը

Մենք տեսանք, որ երբ f'(x0)=0 և f''(x)>0, f(x) ֆունկցիան x0 կետում հասնում է մինիմումի, իսկ եթե f'(x0)=0 և f''(x0)<0, ապա ֆունկցիան այդ կետում ունի մաքսիմում։ Այն դեպքը, երբ f'(x0)=0 և f''(x0)=0, մենք թողեցինք առանց հետազոտության։

Այժմ ենթադրենք, թե f(x) ֆունկցիան x=x0 կետում ունի n հաջորդական ածանցյալներ, ընդ որում n-րդ ածանցյալն x=x0 կետում անընդհատ է։ Դիցուք նրանք բոլորը, ընդհուպ մինչև (n-1)-րդը, այդ կետում դառնում են զրո՝

\[f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0\]

մինչդեռ f(n)(x0)≠0: f(x) ֆունկցիայի f(x)-f(x0) աճը Թեյլորի բանաձևով վերլուծենք (x-x0)-ի աստիճաններով՝ Պեանոյի տեսքով լրացուցիչ անդամով: Քանի որ n-ից ցածր կարգի բոլոր ածանցյալները x0 կետում հավասար են զրոյի, ուստի կունենանք՝

\[f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0) + \alpha (x)}{n!}(x-x_0)^n:\]

Շնորհիվ այն բանի, որ երբ x->x0, α->0, x0-ին բավականաչափ մոտ գտնվող x-երի համար համարիչում գտնվող գումարի նշանը կհամընկնի f(n)(x0)-ի նշանի հետ, ինչպես x<x0 արժեքների, նույնպես և x>x0 արժեքների դեպքում։ Դիտարկենք երկու դեպք։

1. n-ը կենտ թիվ է՝ n=2k+1: x-ի՝ x0-ից փոքր արժեքներից x0-ից մեծ արժեքներին անցնելիս (x-x0)n արտահայտությունը փոխում է նշանը, և քանի որ այդ դեպքում առաջին արտադրիչի նշանը չի փոխվում, ուստի նաև f(x)-f(x0) տարբերության նշանը կփոխվի։ Այսպիսով, x0 կետում f(x) ֆունկցիան էքստրեմում ունենալ չի կարող, որովհետև այդ կետի մոտակայքում նա ընդունում է f(x0)-ից թե փոքր, և թե մեծ արժեքներ։

2. n-ը զույգ թիվ է՝ n=2k: Այս դեպքում f(x)-f(x0) տարբերությունը, x-ի x0-ից փոքր արժեքներից x0-ից մեծ արժեքներին անցնելիս, նշանը չի փոխում, որովհետև x-ի բոլոր արժեքների համար (x-x0)n>0: Ակներևորեն x-ի մոտակայքում թե ձախից թե և թե աջից f(x)-f(x0) տարբերության նշանը համընկնում է f(n)(x0) թվի նշանի հետ։ Ուրեմն, եթե f(n)(x0)>0, ապա x-ի մոտակայքում f(x)>f(x0) և x0 կետում f(x) ֆունկցիան ունի մինիմում, իսկ եթե f(n)(x0)<0, ապա ֆունկցիան ունի մաքսիմում։

Այստեղից ստացվում է հետևյալ կանոնը․

Եթե x0 կետում զրո չդարձող ածանցյալներից առաջինը կենտ կարգի է, x0 կետում ֆունկցիան չունի ոչ մաքսիմում և ոչ էլ մինիմում։ Եթե այդպիսի ածանցյալը զույգ կարգի է, x0 կետում ֆունկցիան ունի մաքսիմում կամ մինիմում, նայած նրան, թե այդ ածանցյալը բացասական է, թե դրական։

Free Joomla! templates by AgeThemes