Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքների որոնումը

Դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված է ու անընդհատ [a, b] վերջավոր փակ միջակայքում։ Մինչև հիմա մենք հետաքրքրվում էինք միայն նրա մաքսիմումներով և մինիմումներով, իսկ այժմ հարց ենք դնում՝ գտնել այդ միջակայքում ֆունկցիայի ստացած արժեքներից մեծագույնը և փոքրագույնը։ Ըստ Վայերշտրասի 2-րդ թեորեմայի, այդպիսի մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ գոյություն ունեն [a, b] հատվածում որոշված և անընդհատ ֆունկցիայի համար)։ Որոշակիության համար կանգ առնենք մեծագույն արժեքի վրա։

Եթե այդ մեծագույն արժեքն ստացվում է a-ի և b-ի միջև գտնվող որևէ կետում, ապա այն միաժամանակ կլինի նաև մաքսիմումներից որևէ մեկը (ակներևաբար՝ ամենամեծը)․ սահայն մեծագույն արժեք կարող է ստացվել նաև միջակայքի ծայրակետերից որևէ մեկում, a-ում կամ b-ում (գծագիր 47)։

Այսպիսով, միմյանց հետ պետք է բաղդատել f(x) ֆունկցիայի բոլոր մաքսիմումները և f(a) ու f(b) եզրային արժեքները․ այդ թվերից ամենամեծը հենց կլինի [a, b]-ում f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքներից մեծագույնը։ Նման եղանակով որոնում են նաև ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը։

Եթե ցանկանում են խուսափել մաքսիմումը կամ մինիմումը ստուգելուց, կարելի է այլ կերպ վարվել։ Հարկավոր է միայն հաշվել ֆունկցիայի արժեքները բոլոր «կասկածելի» (էքստրեմումների համար) կետերում (որտեղ ածանցյալը զրո է, կամ գոյություն չունի) և նրանք բաղդատել f(a) ու f(b) եզրային արժեքների հետ

այս թվերից ամենամեծը և ամենափոքրը հենց կլինեն ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները ֆունկցիայի բոլոր արժեքների մեջ տվյալ միջակայքում։

Դիտողություն։ կիրառական խնդիրներում ամենից հաճախ հանդիպում են այն պարզ դեպքերը, երբ a-ի և b-ի միջև լինում է միայն մեկ «կասկածելի» x0 կետ: Եթե այդ կետում ֆունկցիան ունի մաքսիմում (մինիմում)․ ապա, առանց եզրային արժեքների հետ բաղդատելու, պարզ է, որ այդ հենց կլինի միջակայքում ֆունկցիայի մեծագույն (փոքրագույն) արժեքը (տես գծագիր 48): Նման դեպքում հաճախ ավելի հեշտ է լինում կատարել մաքսիմումի և մինիմումի հետազոտումը, քան թե ֆունկցիայի առանձին արժեքների հաշվումն ու բաղդատումը (հատկապես, երբ նրա արտահայտության մեջ մտնում են տառային արտահայտություններ):

Կարևոր է ընդգծել, որ վերևում ասածը լիովին կիրառելի է թե (a, b) բաց միջակայքի և թե անվերջ մեծ միջակայքերի նկատմամբ։

Դիոողություն։ Օգտվելով առիթից, ընթերցողի ուշադրությունը հրավիրում ենք հետևյալ հանգամանքի վրա։ Արգումենտի փոփոխման որոշակի միջակայքի համար ֆունկցիայի մեծագույն կամ փոքրագույն արժեքը որոնելիս, կարող է պատահել, որ այդ միջակայքի ներսը բոլորովին չլինեն ածանցյալի արմատներ (կամ այլ կասկածելի արժեքներ)։ Այդ վկայում է այն մասին, որ դիտարկվող միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն աճող կամ նվազող և, հետևապես, իր ինչպես մեծագույն, նույնպես և փոքրագույն արժեքներն ստանում է միջակայքի ծայրակետերում։

Free Joomla! templates by AgeThemes