Սիմետրիկ թվեր։ Բացարձակ մեծություն

    Այժմ ապացուցենք, որ յուրաքանչյուր a իրական թվի համար գոյություն ունի (նրան սիմետրիկ) -a թիվ, որը բավարարում է a+(-a)=0:

    Ապացուցելիս կարելի է սահմանափակվել այն դեպքով, երբ a թիվն իռացիոնալ է։

    Ընդունելով, որ a թիվը վորոշվում է A|A' հատույթով, մենք a թիվը մենք -a թիվը սահմանենք հետևյալ ձևով։ -a թիվը որեշող հատույթի A ստորին դասի մեջ գցենք բոլոր -a' ռացիոնալ թվերը, որտեղ a' -ը ցանկացած թիվ է A' դասից, իսկ A' վերին դասի մեջ գցենք բոլոր -a'' ռացիոնալ թվերը, որտեղ a''-ը ցանկացած թիվ է A դասից։ Դժվար չէ համոզվել, որ այդպիսի տրոհումն իրոք հատույթ է և որոշում է մի իրական (տվյալ դեպքում՝ իռացիոնալ) թիվ․ այդ թիվը նշանակենք -a:

    Այժմ ցույց տանք, որ այդ թիվը բավարարում է նշված պայմանին՝ a+(-a)=0: Օգտվելոց հենց -a թվի սահմանումից, տեսնում ենք, որ a+(-a) գումարը մի իրական թիվ է, որը գտնվում է a''-a' տեսքի և a'-a'' տեսքի ռացիոնալ թվերի միջև, որտեղ a''<a<a': Բայց, ակներևորեն՝

     

    a''-a'≤0≤a'-a''

     

    Այնպես, որ 0 թիվը նույնպես գտնվում է նույն ռացիոնալ թվերի միջև, ինչպես և a+(-a) գումարը։ Այդպիսի հատկությամբ օժտված թվի միակության շնորհիվ (2-րդ լեմմա), կունենանք՝

    a+(-a)=0,

    որը և պահանջվում էր ապացուցել։

    Ավելացնենք նաև, որ տվյալ թվին սիմետրիկ թիվը միակն է և օժտված է հետևյալ հատկություններով՝

    -(-a)=a, -(a+b)=(-a)+(-b):

    Սիմետրիկ թվի գաղափարի օգնությամբ սպառվում է իրական թվերի հանման վերաբերյալ հարցը, որպես գումարմանը հակադարձ գործողության վերաբերյալ հարց․ a և b թվերի տարբերություն կանվանենք տարբերություն կանվանենք (և կնշանակենք a-b) այն c թիվը, որը բավարարում է

    c+b=a (կամ b+c=a)

    պայմանին։ Հենվելով գւմարման հատկությունների վրա, հեշտ է ցույց տալ, որ այդպիսին կլինի c=a+(-b) թիվը։ Իսկապես՝

    c+b=(a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+(b+(-b))=a+0=a

    Այդպես է ապացուցվում նաև տարբերության միակությունը։

    Իրական թվերի գումարման հատկությունների 4-րդ հատկությունն այժմ թույլ է տալիս օգտակար դիտողություն անել

    a>b և a-b>0

    անհավասարությունների համարժեք լինելու մասին։ Իսկ այդտեղից էլ հետևում է, որ a>b անհավասարությունից բխում է -a<-b անհավասարությունը։

    Վերջապես, սիմետրիկ թվի գաղափարի հետ կապված է նաև թվի բացարձակ մեծության գաղափարը։ Սիմետրիկ թվի պարզ երևում է, որ a>0 դեպքում անհրաժեշտաբար -a<0, իսկ a<0 դեպքում՝ -a>0։ Այլ խոսքով, եթե միայն a0, ապա a և -a թվերից մեկը և միայն մեկը զրոյից մեծ կլինի․ Հենց այդ թիվն էլ անվանում են ինչպես a թվի, այնպես էլ -a թվի բացարձակ մեծություն և նշանակում

    |a|=|-a|

    պայմանանշանով։ Զրո թվի բացարձակ մեծությունը համարում են հավասար զրոի՝ |0|=0:

    Հետագայում օգտագործելու համար ևս երկու դիտողություն անենք բացարձակ մեծությունների վերաբերյալ։

    Ամենից առաջ ցույց տանք, որ |a|<b անհավասարությունը (որտեղ, անշուշտ, b>0) համարժեք է -b<a<b կրկնակի անհավասարությանը։

    Իրոք, |a|<b անհավասարությունից հետևում է, որ միաժամանակ a<b և -a<b, ապա միաժամանակ ունենք՝ a<b և -a<b։ Սակայն a և -a թվերից մեկը հենց |a|-ն է, այնպես որ հաստատ |a|<b:

    Համանման ձևով ցույց է տրվում, որ համարժեք են նաև

    |a| b և -bab:

    անհավասարությունները։

    Ապացուցենք, այնուհետև՝

    |a+b||a|+|b|

    օգտակար անհավասարությունները։

    Անդամ առ անդամ գումարելով հետևյալ ակներև անհավասարությունները՝

    -|a|≤a≤|a| և -|b|≤b≤|b|,

    Կստանանք՝

    -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,

    որտեղից և, վերևում տրված դիտողության շնորհիվ, բխում է պահանջվող անհավասարությունը։

    Ապացուցված անհավասարությունը մաթեմատիկական ինդուկցիայի օգնությամբ տարածվում է ցանկացած թվով գումարելիների դեպքի վրա։ Բացի դրանից այնտեղից հեշտությամբ ստացվում է, որ՝

    |a+b||a|-|b|,

    Ինչպես նաև՝

    |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

    Քանի որ միաժամանակ նաև՝

    |b|-|a|≤|a-b|,

    ուստի, ակներևաբար՝

    ||a|-|b||≤|a-b|

    Այս բոլոր անհավասարությունները բազմիցս պետք են գալու հետագայում։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru