Հոդվածների այցերի քանակը
79247

Լոպիտալի կանոն։ Անորոշությունների բացումը։ 0/0 տեսքի անորոշություններ

Ածանցյալի գաղափարն այժմ օգտագործենք բոլոր տեսքի անորոշությունների բացման համար։ Սկզբում զբաղվենք հիմնական դեպքով՝ 0/0 տեսքի անորոշությամբ, այսինքն՝ կուսումնասիրենք f(x) և g(x) երկու այնպիսի ֆունկցիաների հարաբերության սահմանի վերաբերյալ հարցը, որոնք ձգտում են զրոյի (օրինակի համար՝ x->a դեպքում)։

Ստորև բերվող թեորեման հիմնականում պատկանում է Իոհան Բեռնուլիին։ Սակայն, նրանում պարունակվող կանոնը սովորաբար «Լոպիտանի կանոն» են անվանում, որովհետև այն առաջին անգամ (թեպետև ոչ բոլորովին այդ նույն տեսքով) հրապարակվել է հենց Լոպիտանի «Անվերջ փոքրերի անալիզ» գրքում, որը լույս է տեսել 1696թ․։

Թեորեմա 1․ Դիցուք 1) f(x) և g(x) ֆունկցիաները որոշված են (a, b] միջակայքում,

\[2)\lim_{x \to a} f(x)=0, \quad \lim_{x \to a} g(x)=0\]

3) (a, b] միջակայքում գոյություն ունեն f'(x) և g'(x) վերջավոր ածանցյալներ, ընդ որում g'(x) հավասար չէ 0-ի, և, վերջապես, 4) գոյություն ունի

\[\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=K\]

սահմանը (վերջավոր կամ ոչ)։ Այդ ժամանակ նաև՝
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=K:\]

Ապացուցում։ f(x) և g(x) ֆունկցիաների սահմանումը լրացնենք, ընդունելով, որ x=a կետում նրանք հավասար են զրոյի՝ f(a)=g(a)=0: Այդ ժամանակ այդ ֆունկցիաները անընդհատ կլինեն ամբողջ [a, b] փակ միջակայքում․ նրանց արժեքները a կետում կհամընկնեն սահմանների հետ, երբ x->a, [2)-ի շնորհիվ], իսկ մյուս կետերում անընդհատությունը բխում է վերջավոր ածանցյալի գոյությունից։ Կիրառելով Կոշիի թեորեման, կստանանք՝
\[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},\]

որտեղ a<c<x: Այն հանգամանքը, որ g(x)-ը հավասար չէ 0-ի, այսինքն՝ g(x) հավասար չէ g(a)-ին, հանդիսանում է g(x)-ը զրո չլինելու ենթադրության հետևանքը, ինչպես այդ արդեն ցույց ենք տվել Կոշիի բանաձևն արտածելիս։

Երբ x->a, ակներևաբար, նաև c->a, ուստի 4)-ի շնորհիվ կունենանք՝

\[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}=K\]

որը և պահանջում էր ապացուցել։

Այսպիսով, ապացուցված թեորեման ֆունկցիաների հարաբերության սահմանը հանգեցնում է ածանցյալների հարաբերության սահմանին, եթե վերջինս գոյություն ունի։ Հաճախ պարզվում է, որ ածանցյալների հարաբերության սահմանը հաշվելը ավելի հեշտ է և կարելի է գտնել տարրական եղանակով։

Նկատենք, որ միայն որոշակիության համար մենք դիտարկեցինք այն դեպքը, երբ a-ն նիջակայքի ձախ ծայրակետն է և x փոփոխականը աջից է ձգտում a-ին։ Կարելի էր a-ն համարել նաև միջակայքի աջ ծայրակետ և x-ը ձախից ձգտեցնել a-ին։ Վերջապես, թույլատրելի է նաև երկկողմյան սահմանների անցում։

1-ին թեորեման հեշտությամբ տարածվում է այն դեպքի վրա, երբ x արգումենտը անվերջ սահմանի՝ այսինքն՝ a-ն դրական կամ բացասական անվերջությունն է։ Այն է, տեղի ունի, օրինակի համար, հետևյալ թեորեման՝

Թեորեմա 1*։ Դիցուք՝ 1) f(x) և g(x) ֆունկցիաները որոշված են c-ում և նրանից մեծ թվերի համար,

\[2) \lim_{x \to + \infty}f(x)=0, \quad \lim_{x \to + \infty} g(x)=0, \quad 3) (c, + \infty )\]

միջակայքում գոյություն ունեն f'(x) և g'(x) վերջավոր ածանցյալներ, ընդ որում g'(x)-ը զրո չէ, և, վերջապես, 4) գոյություն ունի
\[\lim_{x \to + \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=K\]

սահմանը (վերջավոր կամ ոչ)։ Այդ ժամանակ նաև՝
\[\lim_{x \to + \infty }\frac{f(x)}{g(x)}=K\]

Ապացուցում։ x փոփոխականը ձևափոխենք հետևյալ բանաձևով՝
\[x=\frac{1}{t}, \quad t=\frac{1}{x}:\]

Այդ ժամանակ, եթե x-ը ձգտում է դրական անվերջության, ապա t->0, և ընդհակառակը։ 2)-ի շնորհիվ կունենանք՝
\[\lim_{t \to +0} f \left( \frac{1}{t} \right), \quad \lim_{t \to +0} g \left( \frac{1}{t} \right)\]

իսկ 4-ի շնորհիվ՝
\[\lim_{t \to +0}\frac{f' \left( \frac{1}{t} \right)}{g' \left( \frac{1}{t} \right)}\]

t-ն նոր փոփոխականից կախված f(1/t) և g(1/t) ֆունկցիաների նկատմամբ կարելի է կիրառել 1-ին թեորեման, որը մեզ կտա (հաշվի առնելով բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնը)
\[\lim_{t \to +0} \frac{f \left( \frac{1}{t} \right)}{g \left( \frac{1}{t} \right)}= \lim_{t \to +0} \frac
{f' \left( \frac 1t \right) \cdot \left( - \frac 1{t^2} \right) }
{g' \left( \frac 1t \right) \cdot \left( - \frac 1{t^2} \right)}
=\lim_{t \to +0 } \frac
{f' \left( \frac 1t \right)}{g' \left( \frac 1t \right)}=K
\]

իսկ այդ ժամանակ նաև՝
\[\lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=K,\]

ինչ և պահանջվում էր ապացուցել։

Վերջին ավելացված նյութերը

Free Joomla! templates by AgeThemes