Երկու փոփոխականի ֆունկցիաներ և նրանց որոշման տիրույթները

    Խոսելով x և y երկու անկախ փոփոխականների փոփոխման մասին, մենք ամեն անգամ պետք է ցույց տանք, թե նրանք (x, y) արժեքների ինչպիսի զույգերը կարող են ընդունել համատեղ․ հենց այդ զույգերի M բազմությունը կլինի x, y փոփոխականների փոփոխման տիրույթը։

    Ֆունկցիայի սահմանը տրվում է այն նույն հայտարարություններով, ինչ-որ մեկ անկախ փոփոխականի դեպքում․

    z փոփոխականը (փոփոխման Z տիրույթով) կոչվում է x, y անկախ փոփոխականների ֆունկցիա M բազմությունում, եթե M-ից նրանց արժեքների յուրաքանչյուր (x, y) զույգին, որևէ օրենքով կամ կանոնով, համապատասխանում է z-ի մեկ որոշակի արժեք (Z-ից)։

    Այստեղ ի նկատի ունենք միարժեք ֆունկցիա․ այս սահմանումը հեշտությամբ կարելի է տարածել նաև բազմարժեք ֆունկցիաների դեպքի վրա։

    M բազմությունը, որի մասին վերևում խոսվեց, հենց ֆունկցիայի փոփշման տիրույթն է։ x, y փոփոխականները կոչվում են z ֆունկցիայի արգումենտներ։ z և x, y փոփոխականների միջև ֆունկցիոնալ կապը նշանակում են, մեկ անկախ փոփոխականի դեպքի նմանությամբ, այսպես՝

    \[z=f(x, y), \quad z= \varphi (x, y), \quad z=z(x, y)\]

    և այլն։

    Եթե (x0, y0) զույգը վերցրած է M-ից, ապա f(x0, y0)-ն նշանակում է f(x,y) ֆունկցիայի այն մասնավոր (թվային) արժեքը, որը նա ընդունում է x=x0, y=y0 դեպքում։

    Այսպիսով, այն ժամանակ, երբ մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համար արգումենտի փոփոխման ստանդարտ տիրույթ հանդիսանում է (վերջավոր կամ անվերջ) միջակայքը, երկու փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքում մենք հանդիպում ենք արգումենտների փոփոխման հնարավոր (և բնական) տիրույթների շատ բազմատեսակության և բարդության։

    Այդ տիրույթների դիտարկումը նշանակալիորեն հեշտացնում է նրանց երկրաչափական մեկնաբանմամբ։ Եթե հարթության վրա վերցնենք երկու փոխադարձաբար ուղղահայաց առանցքներ և սովորական ձևով դրանց վրա դասավորենք x-ի և y-ի արժեքները, ապա, ինչպես հայտնի է, յուրաքանչյուր (x, y) զույգով հարթության վրա միարժեքորեն որոշվում է մի կետ, որի կոորդինատները այդ արժեքներն են, և, հակադարձաբար, յուրաքանչյուր կետով որոշվում է x-ի և y-ի արժեքների մի զույգ։

    Այդ դեպքում, բնութագրելու համար այն (x, y) զույգերը, որոնց համար ֆունկցիան որոշված է, ամենից ավելի հեշտ է ցույց տալ, թե xy հարթության վրա համապատասխան կետերով ինչ պատկեր է լրացվում։

    Այս երկրաչափական մեկնաբանումն այնքան հարմար է, որ սովորաբար հենց (x, y) թվերի զույգերն իրենք անվանում են «կետեր», իսկ այդպիսի «կետերի» բազմությունը, որը համապատասխանում է այս կամ այն երկրաչափական պատկերին, անվանում են այդ պատկերների անունով։ Այսպես, այն «կետերի» կամ (x, y) զույգերի բազմությունը, որոնց համար տեղի ունեն

    \[a \leq x \leq b, \quad c \leq y \leq d\]

    անհավասարությունները, ուղղանկյուն է, որի չափումները հավասար են b-a և d-c. այդ ուղղանկյունը կնշանակենք [a, b; c, d] պայմանանշանով, որը նման է միջակայքի նշանակմանը։
    \[(x - \alpha )^2 + (y - \beta )^2 \leq r^2\]

    անհավասարությանը բավարարող «կետերի» կամ (x, y) զույգերի բազմությունը՝ r շառավղով «շրջան» է, որի կենտրոնը
    \[( \alpha , \beta )\]

    «կետն» է և այլն։
    Ինչպես որ y=f(x) ֆունկցիան երկրաչափորեն պատկերվում էր գրաֆիկով, նույնպես և այստեղ կարելի է z=f(x,y) հավասարումը երկրաչափորեն մեկնաբանել։ Տարածության մեջ վերցնենք x, y, z կոորդինատային առանցքերի ուղղանկյուն սիստեմ․ xy հարթության վրա պատկերացնենք x և y փոփոխականների փոփոխման M տիրույթը, և, վերջապես, այդ տիրույթի յուրաքանչյուր M(x,y) կետում կանգնեցնենք xy հարթությանն ուղղահայաց և նրա վրա վերցնենք z=f(x, y) արժեքին համապատասխանող հատված։ Այդ ձևով ստացված կետերի երկրաչափական տեղը հենց կհանդիսանա մեր ֆունկցիայի յուրատեսակ տարածական գրաֆիկը։ Ընդհանրապես ասած, այդ կլինի մի որոշ մակերևույթ․ z=f(x,y) հավասարումն, իր հերթին, կոչվում է մակերևույթի հավասարում։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru