m փոփոխականների ֆունկցիաներ

    Դիցուք ունենք m հատ՝ x1, x2, …, xփոփոխականներ, որոնց համատեղ արժեքները կամավոր կերպով կարող են ընտրվել m չափանի տարածության մի որոշ M բազմությունից․

    այդ փոփոխականները կոչվում են անկախ փոփոխականներ։ Երկու փոփոխականների դեպքում ֆունկցիայի սահմանումը և նրա վերաբերյալ բոլոր ասածները անմիջականորեն փոխանցվում են նաև այս դիտարկվող դեպքի վրա, ուստի դրանց վրա կանգ առնելու հարկ չկա։

    Եթե

    \[(x_1, x_2, …, x_m)\]

    կետը նշանակենք M-ով,ապա այդ փոփոխականների
    \[u=f(x_1, x_2, …, x_m)\]

    ֆունկցիան երբեմն անվանում են M կետի ֆունկցիա և նշանակում են նույն նշանով՝ u=f(M):

    Այժմ ենքադրենք, թե k-չափանի տարածության (որտեղ k-ն m-ի հետ կապված չէ) կետերի մի որոշ P բազմության մեջ տրված են k հատ՝

    \[t_1, t_2, …, t_k\]

    փոփոխականների m հատ ֆունկցիաներ՝
    \[x_1=\varphi_1(t_1,t_2, …, t_k), …, x_m=\varphi_m(t_1, t_2, …, t_k)\]

    կամ՝ ավելի կարճ՝
    \[x_1=\varphi_1(P),...,x_m=\varphi_m(P),\]

    որտեղ P-ով նշանակված է k-չափանի տարածության
    \[(t_1, t_2, …,t_k)\]

    կետը։ Բացի դրանից, ընդունենք, որ երբ
    \[P(t_1, t_2, …, t_k)\]

    կետը փոփոխվում է P բազմության սահմաններում, նրան համապատասխանող m-չափանի M կետը, որն ունի
    \[x_1=\varphi_1(t_1,t_2, …, t_k), …, x_m=\varphi_m(t_1, t_2, …, t_k)\]

    կոորդինատներ, դուրս չի գալիս m-չափանի այն M բազմության սահմաններից, որտեղ որոշված է
    \[u=f(x_1,x_2,...,x_m)=f(M)\]

    ֆունկցիան։

    Այդ դեպքում u փոփոխականը կարելի է դիտարկել որպես

    \[t_1, t_2, …, t_k\]

    (P բազմության ներսը) անկախ փոփոխականների բարդ ֆունկցիա՝
    \[x_1, x_2, …, x_m\]

    փոփոխականների միջոցով՝
    \[u=f(\varphi_1(t_1, t_2, …, t_k), …, \varphi_m(t_1, t_2, …, t_k)),\]

    u-ն հանդիսանում է
    \[\varphi_1, \varphi_2, …, \varphi_m\]

    ֆունկցիաների ֆունկցիա։
    \[\varphi_1, \varphi_2, …, \varphi_m\]

    ֆունկցիաների և f ֆունկցիայի միջոցով բարդ ֆունկցիայի որոշման պրոցեսն ինքը կոչվում է (ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի պարզ դեպքում) սուպերպոզիցիա։

    Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների այն դասը, որի հետ սկզբնական շրջանում գործ պետք է ունենանք, շատ էլ մեծ չէ։ Ըստ էության, նա կառուցվում է սուպերպոզիցիայի օգնությամբ, մեկ փոփոխականի տարրական ֆունկցիաներից և երկու փոփոխականի երկու ֆունկցիաներից՝

    \[z=x+y, z=x-y, z=xy, z=\frac xy, z=x^y,\]

    այսինքն՝ թվաբանական չորս գործողությունների և, այսպես կոչվող, աստիճանա-ցուցչային ֆունկցիայի միջոցով։
    \[x_1, x_2, …, x_m\]

    անկախ փոփոխականների և հաստատունների նկատմամբ բազմակի կիրառված թվաբանական գործողությունները ամենից առաջ բերում են ամբողջ բազմանդամներին՝
    \[P(x_1, x_2, …,x_m)= \sum_{v_1, v_2, v_3, …,v_m}C_{v_1, v_2, …,v_m}x_1^{v_1}x_2^{v_2}...x_m^{v_m}\]

    (ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա) և երկու այդպիսի բազմանդամների հարաբերությանը՝
    \[Q(x_1, x_2, …, x_m)=\frac{\sum_{v_1, v_2, v_3, …,v_m} C_{v_1, v_2, …,v_m}x_1^{v_1}x_2^{v_2}...x_m^{v_m}}{\sum_{u_1, u_2, u_3, …,u_m} C_{u_1, u_2, …,u_m}x_1^{u_1}x_2^{u_2}...x_m^{u_m}}\]

    (կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա)։

    Մեկ փոփոխականի տարրական ֆունկցիաների օգտագործումը հանգեցնում է, օրինակ, այսպիսի ֆունկցիաների՝

    \[f(x,y,z)=\frac{\ln(x+y+z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\]

    \[\varphi(x,y,z,t)=\sin xy + \sin yz + \sin zt + \sin tx\]

    և այլն։
    Այն դիտողությունները, որոնք արվել են մեկ փոփոխականի ֆունկցիան անալիտիկորեն տալու առթիվ, կարող են կիրառվել և այստեղ։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru