Իրական թվերի արտադրյալի սահմանումը և հատկութունները

    Այժմ անցնենք իրական թվերի բազմապատկմանը, նախ սահմանելով դրական թվերով։ Դիցուք տրված են այդպիսի երկու a և b թվեր։ Մենք այստեղ կդիտարկենք a''<a<a' և b''<b<b' անհավասարություններին բավարարող բոլոր ռացիոնալ թվերը, ընդ որում այդ թվերը ևս ենթադրում ենք դրական։

    Երկու a ու b իրական դրական թվերի ab արտադրյալ կանվանենք այնպիսի c իրական թիվը, որը գտնվում է մի կողմից՝ a''b'' տեսքի բոլոր արտադրյալների և մյուս կողմից a'b' տեսքի բոլոր արտադրյալների միջև՝

    a''b''<c<a'b':

    Այսպիսով c թվի գոյությունն ապացուցելու համար վերցնենք բոլոր հնարավոր a''b'' տեսքի արտադրյալների բազմությունը․ Նա վերևից սահմանափակ է a'b' տեսքի ցանկացած արտադրյալով։ Եթե ընդունենք

    c=sup{a''b''},

    ապա պարզ է, որ a''b''≤c և միաժամանակ c≤a'b':

    a'' և b'' թվերը մեծացնելու և a' և b' թվերը փոքրացնելու հնարավորունն այստեղ (ինչպես և գումարի դեպքում) թույլ է տալիս բացառելու հավասարության նշանը, այնպես որ c թիվը բավարարում է արտադրյալի սահմանմանը։

    Արտադրյալի միակությունը բխում է բխում է հետևյալ դատողություններից․ ընտրենք a'', a' և b'', b' թվերն այնպես, որպեսզի՝

    a'-a''<e և b'-b''<e,

    որտեղ e-ն կամայապես փոքր դրական ռացիոնալ թիվ է։ Ընդ որում կարելի է a'' և b'' թվերը դրական համարել, իսկ a' և b' թվերը՝ համապատասխանորեն ոչ մեծ նախապես վերցրած a'0 և b'0 թվերից։ Այն ժամանակ՝

    a'b'-a''b''=a'(b'-b'')+b(a'-a'')<(a'0+b'0)e,

    ալսինքն՝ այդ տարբերությունը ևս կարելի է դարձնել ցանկացած չափով փոքր, իսկ այդ էլ հենց բավական է 2-րդ լեմմայի համաձայն, համեզվելու, որ a''b''<c<a'b' անհավասարություններին բավարարել կարող է միայն մեկ թիվ։

    Եթա a և b դրական թվերը երկուսն էլ ռացիոնալ են, ապա նրանց c=ab սովորական արտադրյալը, ակներևաբար, բավարարում է a''b''<c<a'b' անհավասարություններին, այսինքն՝ նույնպիսի թիվ է ստացվում և չի հակասում երկու իրական թվերի արտադրյալի ընդհանուր սահմանմանը։

    Վերջապես, որևէ երկու իրական թվերի (ոչ անպայման դրական) արտադրյալը սահմանելու համար պայմանավերվենք հետևյալի մասին․

    ամենից առաջ պայմանավորվենք, որ

    a0=0a=0,

    ինչպիսին էլ լինի a թիվը։ Իսկ եթե երկու բազմապատկիչն էլ 0-ից տարբեր են, ապա հիմք ենք ընդունում սովորական «նշանի կանոնը»՝

    ab=|a||b|, եթե a-ն ու b-ն նույն նշանի են,

    ab=-(|a||b|), եթե a-ն ու b-ն տարբեր նշաններ ունեն

    (Թե ինչ է նշանակում |a| և |b| դրական թվերի արտադրյալ, այդ արդեն գիտենք)։

    Ինչպես և ռացիոնալ թվերի դեպքում, ցանկացած իրական թվերի համար պահպանվում են հետևյալ հատկությունները․

    1. ab=ba,

    2. (ab)c=a(bc),

    3. a*1=a,

    4. (a+b)c=ac+bc, ինչպես նաև՝

    5. a>b և c>0 պայմաններից հետևում է՝ ac>bc:

    Վերջին հատկության օգնությամբ արդարացվում է դրական անդամներ ունեցող երկու անհավասարությունների անդամ առ անդամ բազմապատկումը։

    Եթե a և b թվերի a/b քանորդը սահմանենք որպես այնպիսի c թիվ, որը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

    cb=a (կամ bc=a),

    ապա կարելի է ապացուցել քանորդի գոյությունն ու միակությունը, միայն թե b բաժանարարը զրոյից տարբեր լինի։

    Սրանով ավարտելով իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունների վերաբերյալ ակնարկը, մենք մի անգամ ևս ընդգծենք, որ ռավիոնալ թվերի բոլոր այն հիմնական հատկությունները, որոնց վրա կառուցվում է տարրական հանրահաշիվը, տեղի ունեն նաև իրական թվերի համար։ Հետևաբար, իրական թվերի համար իրենց ուժը պահպանում են հանրահաշվի այն բոլոր կանոնները, որոնք վերաբերում են թվաբանական գործողություններին և հավասարությունների և անհավասարությունների զուգորդմանը։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru