Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների սահմանը

    m չափանի տարածության մեջ դիտարկենք կետերի մի հաջորդականություն՝

    \[\{M_n(x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, …, x_m^{(n)}) \} \quad (n=1, 2, 3, …):\]

    Մենք ասելու ենք, որ կետերի այս հաջորդականությունը զուգամիտում է դեպի
    \[M_0(a_1, a_2, …, a_m)\]

    սահմանային կետը կամ ձգտում է M0 կետին, եթե Mn կետերի կոորդինատներն առանձին-առանձին ձգտում են M0 կետի համապատասխան կոորդինատներն, այսինքն՝ եթե n-ը անվերջ աճելիս
    \[x_1^{(n)} \to a_1, x_2^{(n)} \to a_2, …, x_m^{(n)} \to a_m:\]

    Դրա փոխարեն կարելի էր պահանջել, որպեսզի Mn և M0 կետերի հեռավորությունը ձգտի զրոյի՝
    \[\overline{M_0M_n} \to 0:\]

    Երկու սահմանների համարժեքությունը բխում է երկու տեսակի շրջակայքերի վերաբերյալ բաց և փակ տիրույթների դասում ապացուցած պնդումից։ Իրոք,
    \[x_1^{(n)} \to a_1, x_2^{(n)} \to a_2, …, x_m^{(n)} \to a_m\]

    պայմանը նշանակում է, որ, ինչպիսին էլ լինի δ>0 թիվը, Mn կետը բավականաչափ մեծ n-ի դեպքում բավարարում է հետևյալ անհավասարություններին՝
    \[|x_1^{(n)}-a_1|<\delta, …, |x_m^{(n)}-a_m|<\delta\]

    այսինքն՝ գտնվում է M0 կենտրոնով
    \[(a_1-δ, a_1+δ; ...; a_m-δ, a_m+δ)\]

    բաց զուգահեռանիստում։ Իսկ
    \[\overline{M_0M_n} \to 0:\]

    պահանջը նշանակում է այն, որ, ինչպիսին էլ լինի r>0 թիվը, Mn կետը, դարձյալ բավականաչափ մեծ n-ի դեպքում, բավարարում է
    \[\overline{M_0M_n}<r\]

    անհավասարությունը, այսինքն՝ ընկնում է նույն M0 կենտրոնով և r շառավղով բաց գնդի ներսը։

    Դիցուք տրված է կետերի մի որոշ M բազմություն m չափանի տարածությունում և դիցուք

    \[M_0(a_1, a_2, …, a_m)\]

    կետը այդ բազմության խտացման կետ է։ Այդ դեպքում միշտ կարելի է M բազմությունից առանձնացնել M0 կետից տարբեր կետերի այնպիսի
    \[\{M_n(x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, …, x_m^{(n)}) \} \quad (n=1, 2, 3, …)\]

    հաջորդականություն, որը ձգտի M0 կետին որպես սահմանային կետի։

    Այժմ ենթադրենք, թե նշված M բազմությունում որոշված է

    \[f(x_1, …, x_m)\]

    ֆունկցիան։ Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքի նմանությամբ ասում են՝
    \[f(x_1, …, x_m)=f(M)\]

    ֆունկցիան ունի A սահմանը
    \[x_1, …, x_m\]

    փոփոխականները համապատասխանորեն a1-ին, ․․․, am-ին ձգտելիս (կամ, ավելի կարճ՝ M կետն M0 կետին ձգտելիս), եթե M0 կետից տարբեր կետերի՝ դեպի նույն M0 կետը զուգամիտող ինչպիսի
    \[\{M_n(x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, …, x_m^{(n)}) \} \quad (n=1, 2, 3, …)\]

    հաջորդականություն էլ առանձնացնելու լինենք M բազմությունից, ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներից կազմված
    \[\{ f(x_1^{(n)}, …, x_m^{(n)}\}={f(M_n)}\]

    թվային հաջորդականությունը միշտ ձգտի A սահմանին։

    Այդ փաստը գրառում են այսպես՝

    \[A=\lim_{x_1 \to a_1, …, a_m \to a_m}f(x_1, …, x_m),\]

    կամ՝ ավելի կարճ՝
    \[A=\lim_{M \to M_0}f(M):\]

    Ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը հեշտությամբ տարածվում է այն դեպքի վրա, երբ
    \[A, a_1, …, a_m\]

    թվերից մի քանիսը կամ բոլորն անվերջ մեծ են։

    Ընդգծենք, որ, այդպիսով, մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի համար նույնպես սահմանի գաղափարը հանգեցնում է հաջորդականության սահմանի գաղափարին։

    Սակայն, այստեղ ևս կարելի է սահմանի սահմանումը ձևակերպել «ε-δ լեզվով», առանց հիշատակելու հաջորդականությունների մասին։ Ահա թե ինչպիսին է այդ սահմանումն այն դեպքում, երբ բոլոր

    \[A, a_1, …, a_m\]

    թվերը վերջավոր են․

    ասում են, որ

    \[f(x_1, …, x_m)\]

    ֆունկցիան ունի a սահմանը x1, …, xm փոփոխականները, համապատասխանորեն, a1, …, am-ին ձգտելիս, եթե յուրաքանչյուր ε>0 թվի համար կգտնվի այնպիսի δ>0 թիվ, որ
    \[|f(x_1,...,x_m)-A|<ε,\]

    հենց որ
    \[|x_1-a_1|<δ, ..., |x_m-a_m|<δ:\]

    Այստեղ ենթադրվում է, որ M կետը վերցրած է M բազմությունից և
    \[(a_1, …, a_m)\]

    կետից տարբեր է։ Այդպիսով, ֆունկցիայի համար գրված անհավասարությունը պետք է տեղի ունենա M բազմության այն բոլոր կետերում, որոնք գտնվում են M0 կետի
    \[(a_1-δ, a_1+δ; ...; a_m-δ, a_m+δ)\]

    բավականաչափ փոքր շրջակայքում, բացառյալ
    \[(a_1, …, a_m)\]

    կետն ինքը (անգամ եթե այն պատկանում է M-ին):
    \[(x_1, …, x_m), (a_1, …, a_m)\]

    կետերը նշանակելով M և M0, ասածը կարելի է երկրաչափական տերմիններով վերաձևակերպել այսպես․

    A թիվը կոչվում է f(M) ֆունկցիայի սահման M կետն M0 կետին ձգտելիս (կամ՝ M0 կետում), եթե յուրաքանչյուր ε>0 թվի համար գոյություն ունի այնպիսի r>0 թիվ, որ

    \[|f(M)-A|<ε,\]

    հենց որ
    \[\overline{M_0M}<r:\]

    Ինչպես և վերևում, ենթադրվում է, որ M կետը վերցվում է M բազմությունից, բայց M0-ից տարբեր։ Այդպիսով, ֆունկցիայի համար անհավասարությունը պետք է տեղի ունենա M բազմության այն բոլոր կետերում, որոնք գտնվում են M0 կետի բավականաչափ փոքր գնդային շրջակայքում, բացառությամբ M0 կետի։

    Բազմաչափ տարածության տիրույթների դասում տարբեր տեսակի շրջակայքերի վերաբերյալ արված դիտողությունից անմիջապես բխում է ֆունկցիայի սահմանի նոր սահմանման երկու ձևերի համարժեքությունը։

    Իսկ ինչ վերաբերվում է նոր սահմանման և նախկին՝ հաջորդականությունների լեզվով տրված սահմանման համարժեքությանը, ապա այդ ապացուցվում է այնպես, ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում:

    Վերջում նակտենք, որ նախորդ դասերում զարգացրած սահմանների ողջ տեսությունը տարածվում է նաև մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքի վրա։ Մեծ մասամբ այդ տարածումն իրականացվում է ավտոմատիկորեն, որքանով որ այստեղ ևս բոլորը կարելի է հանգեցնել հաջորդականության։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru