Հոդվածների այցերի քանակը
70082

Գործողություններ մի քանի փոփոխականի անընդհատ ֆունկցիաների հետ

Հեշտությամբ կարելի է ձևակերպել ու ապացուցել թեորեմա երկու ֆունկցիաների գումարի, տարբերության, արտադրյալի, քանորդի անընդհատության վերաբերյալ հատկություններ համանման եղանակով:

Մենք կանգ կառնենք անընդհատ ֆունկցիաների սուպերպոզիցիային վերաբերող թեմայի վրա միայն։ Ինչպես այս դասում, մենք կենթադրենք, որ m չափանի M(x1, …, xm) կետերի M բազմության մեջ տրված u=f(x1, …, xm) ֆունկցիայից բացի, մեզ տրված են նաև k-չափանի P(t1, …, tk) կետերի մի որոշ P բազմությունում որոշված m հատ ֆունկցիաներ՝

\[x_1 = \varphi_1(t_1, …, t_k), …, x_m=\varphi_m(t_1, …, t_k),\]

ընդ որում այս կոորդինատներով որոշվող M կետը վերոհիշյալ M բազմության սահմաններից դուրս չի գալիս։

Թեորեմա։ Եթե բոլոր φi(P)(i=1, 2, …, m) ֆունկցիաներն անընդհատ են P-ին պատկանող P'(t'1, …, t'k) կետում, իսկ f(M) ֆունկցիան անընդհատ է համապատասխան M'(x'1, …, x'm) կետում, որի կոորդինատներն են՝

\[x'_1 = \varphi (t'_1, …, t'_k), …, x'_m=\varphi_m(t'_1, …, t'_k),\]

ապա՝
\[u=f(\varphi_1(t_1, …, t_k), …, \varphi_m(t_1, …, t_k)=f(\varphi_1(P),...,\varphi_m(P))\]

բարդ ֆունկցիան ևս կլինի անընդհատ P' կետում։

Իրոք, նախ ε>0 թվով կորոշվի այնպիսի δ>0 թիվ, որ

\[|x_1-x'_1|<δ, ..., |x_m-x'_m|<δ\]

անհավասարությունից կհետևի
\[|f(x_1, …, x_m) -f(x'_1, …, x'_m)<ε\]

անհավասարությունը (f ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ)։ Ապա δ թվով (φ1, …, φm ֆունկցիաների անընդհատության շնորհիվ) կգտնվի այնպիսի η>0 թիվ, որ
\[|t_1-t'_1|<η, ..., |t_k – t'_k|<η\]

անհավասարություններից կհետևեն հետևյալ անհավասարությունները՝
\[|x_1-x'_1|=|\varphi_1(t_1,...,t_k)-\varphi_1(t'_1, …, t'_k)|<δ\]

\[..........\]

\[..........\]

\[|x_m-x'_m|=|\varphi_m(t_1,...,t_k)-\varphi_m(t'_1, …, t'_k)|<δ\]

Բայց այդ դեպքում
\[|t_1-t'_1|<η, ..., |t_k – t'_k|<η\]

անհավասարությունների առկայության դեպքում տեղի կունենա՝
\[|f(x_1, …, x_m)-f(x'_1, …, x'_m)|=\]

\[=|f(\varphi_1(t_1,...,t_k), …, \varphi_m(t_1, …,t_k))-\]

\[-f(\varphi_1(t'_1,...,t'_k),...,\varphi_m(t'_1,...,t'_k))|<ε\]

որը և ապացուցում է մեր թեորեման։

Վերջին ավելացված նյութերը

Free Joomla! templates by AgeThemes