Հոդվածների այցերի քանակը
103876

Ֆունկցիայի զրո դառնալու վերաբերյալ թեորեման

Այժմ զբաղվենք մի քանի փոփոխականների այնպիսի ֆունկցիաների հատկությունների ուսումնասիրությամբ, որոնք անընդհատ են m չափանի տարածության մի որոշ D տիրույթի բոլոր կետերում (կամ, ավելի կարճ՝ D տիրույթում)։

Այդ հատկությունները լիովին նման են մեկ փոփոխականի՝ միջակայքում անընդհատ ֆունկցիաների հատկություններին։

Շարադրելիս, լոկ կարճության համար, կսահմանափակվենք երկու անկախ փոփոխականների դեպքով։ Ընդհանուր դեպքի վրա տարածելը կատարվում է անմիջականորեն և առանձին դժվարություն չի ներկայացնում։ Ի միջի այլոց, այդ առթիվ որոշ դիտողություններ կարվեն զուգընթացաբար։
Բոլցանո-Կոշիի առաջին թեորեմային համանման թեորեման ձևակերպելու համար մեզ անհրաժեշտ է ծանոթանալ կապակցված տիրույթի գաղափարին․ այդպես է կոչվում այնպիսի տիրույթը, որի ցանկացած երկու կետերը կարելի է միացնել իր բոլոր կետերով այդ տիրույթում գտնվող բեկյալով։

Թեորեմա։ Դիցուք f(x, y) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է D կապակցված տիրույթում։ Եթե այդ տիրույթի M'(x', y') և M''(x'', y'') երկու կետերում ֆունկցիան ընդունում է տարբեր նշանով արժեքներ՝

f(x', y')<0, f(x'', y'')>0

ապա այդ տիրույթում կգտնվի նաև այնպիսի M0(x0, y0) կետ, որտեղ ֆունկցիան դառնում է զրո՝

f(x0, y0)=0:

ապացուցումը կառուցենք մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքին հանգեցնելով։

D տիրույթի կապակցված լինելու շնորհիվ, M' և M'' կետերը կարելի է միացնել այնպիսի բեկյալով, որն ամբողջությամբ գտնվում է D-ում։ Եթե այդ բեկյալի գագաթներից որևէ մեկում f(x,y) ֆունկցիան հավասարվում է զրոյի, թեորեմայի պնդումն արդարացված է։ Հակառակ դեպքում, բեկյալի կողմերը մեկ առ մեկ ստուգելով, մենք կհանդիպենք մի այնպիսի ուղղագիծ հատվածի, որի ծայրակետերում ֆունկցիան ընդունում է հակառակ նշաններով արժեքներ։ Այսպիսով, կարելի էր, ընդհանրությունը չնբազեցնելով, սկզբից և ետ համարել, որ հենց M'M'' ուղղագիծ հատվածը, որն ունի

\[x=x'+t(x''-x')\]

\[y=y'+t(y''-y'), \quad ( 0 \leq t \leq 1) \]

հավասարումները, իր բոլոր կետերով պատկանում է D տիրույթին։ Երբ M(x,y) կետը տեղափոխվում է այդ հատվածի վրա, մեր f(x,y) սկզբնական ֆունկցիան դառնում է մեկ փոփոխականի՝ t-ի բարդ ֆունկցիա՝

F(t)=f(x'+t(x''-x'), y'+t(y''-y')),

որն, ակներևորեն, անընդհատ ֆունկցիա է նախորդ դասի թեորեմայի համաձայն։ Սակայն, այդ F(t) ֆունկցիայի համար ունենք՝

F(0)=f(x',y')<0, f(1)=f(x'', y'')>0:

F(t) ֆունկցիայի նկատմամբ կիրառելով ֆունկցիայի զրո դառնալու վերաբերյալ դասում ապացուցված թեորեման, կարող ենք պնդել, որ 0-ի և 1-ի միջև գտնվող մի որոշ t' -ի դեպքում F(t')=0։ Հիշելով F(t) ֆունկցիայի սահմանումը, այդպիսով ստանում ենք, որ

f(x0,y0)=0

որտեղ՝

x0=x'+t'(x''-x'), y0=y'+t'(y''-y'):

Այստեղից բխում է նաև Բոլցանոյի-Կոշիի երկրորդ թեորեմային համանման թեորեման, (որն, ի միջի այլոց, կարելի էր ստանալ միանգամից)։

Ընթերցողը տեսնում է, որ m չափանի տարածությանն անցնելը ոչ-մի դժվարություն չի առաջացնում, որովհետև m չափանի կապակցված տիրույթում նույնպես կարելի է կետերը միացնել բեկյալով և հարցը կհանգեցվի, ինչպես հենց նոր արվեց, մեկ փոփոխականից կախված ֆունկցիայի դիտարկմանը։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019

 

Ստեղծել վեբ կայք ukit համակարգում

Free Joomla! templates by AgeThemes