Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Իրական թվերի հետագա հատկություններն ու կիրառությունները։ Արմատի գոյությունը։ Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան

Իրական թվերի բազմապատկման (բաժանման) սահմանումը մեզ անմիջապես հանգեցնում է, ինչպես սովորաբար, ինչպես սովորաբար, ամբողջ դրական (և բացասական) ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը։ Անցնելով ընդհանրապես ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի գաղափարին, կանգ առնենք նախ արմատի գոյության հարցի վրա։

Ինչպես մենք հիշում ենք, ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ պարզագույն արմատների բացակայությունը այդ բազմության ընդլայման առիթներից մեկն է եղել։ Այժմ ստուգենք, թե արդյոք կատարված ընդլայնումը ինչ չափով է լրացրել նախկին բացերը(չստեղծելով, իհարկե, նորերը

Դիցուք a-ն ցանկացած իրական թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ է։ Ինչպես հայտնի է, a թվի n-րդ աստիճանի արմատ կոչվում է այնպիսի q իրական թիվը, որի համար՝

qn=a:

Մենք սահմանեցինք այն դեպքով, երբ a-ն դրական է, և փնտրենք մի դրական q թիվ, որը բավարարի այդ պայմանին, այսինքն՝ փնտրենք արմատի այսպես կոչված թվաբանական արժեքը։ Մենք կապացուցենք, որ միշտ գոյություն ունի այդպիսի q թիվ, այն էլ միայն մեկը։

Վերջին պնդումը q թվի միակության մասին անմիջապես բխում է նրանից, որ տարբեր դրական թվերին համապատասխանում են նրանց տարբեր աստիճաններ՝

0<q<q', ապա qn<q'n:

Եթե գոյություն ունի այդպիսի r ռացիոնալ թիվ, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a-ին, ապա հենց այդ r-ը կլինի որոնելի q թիվը, ուստի բավական է սահմանափակվել այն ենթադրությամբ, թե այդպիսի ռացիոնալ թիվ չկա։

Այժմ բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ կառուցենք մի X|X' հատույթ հետևյալ եղանակով․ X դասի մեջ գցենք բոլոր բացասական ռացիոնալ թվերն ու զրոն, ինչպես նաև այն դրական ռացիոնալ x թվերը, որոնց համար xn<a: X' դասի մեջ գցենք բոլոր x' դրական ռացիոնալ թվերը, որոնց համար x'n>a: Հեշտ է տեսնել, որ այդ դասերը դատարկ չեն և որ X դասն իրոք նաև դրական թվեր է պարունակում։ Եթե վերցնենք, օրինակ, m բնական թիվն այնպես, որ 1/m<a<m, ապա առավել ևս կունենանք 1/mn<a<mn, այնպես, որ 1/n թիվն իրոք մտնում է X դասի մեջ, իսկ m թիվը՝ X' դասի մեջ։ Հատույթի համար պահանջվող մյուս պայմաններն ստուգվում են անմիջականորեն։

Դիցուք այժմ q-ն այդ X|X' հատույթով որոշվող թիվն է։ Ապացուցենք, որ qn=a, այսինքն որ՝ q=a:

qn թիվը դիտելով վորպես q-ին հավասար n բազմապատկիչների արտադրյալ, իրական դրական թվերի արտադրյալի սահմանման համաձայն եզրակացնում ենք, որ եթե x-ը և x'-ը այնպիսի դրական ռացիոնալ թվեր են, որոնց համար

0<x<q<x',

ապա՝

xn<qn<x'n:

Քանի որ x-ը պատկանում է X դասին, իսկ x'-ը X' դասին, ապա, այդ դասերի որոշման համաձայն միաժամանակ կունենանք նաև՝

xn<a<x'n:

Բայց x'-x տարբերությունը կարելի է ամեն մի e>0 թվից փոքր դարձնել, ընդ որում ոչինչ չի խանգարում, որպեսզի x' թիվը համարենք նախապես վերցրած մի x'0 թվից փոքր։ Այդ դեպքում կարող ենք գրել՝

x'n-xn=(x'-x)(x'n-1+x x'n-2+... +xn-1)<enxnn-1,

այսինքն՝ այդ տարբերությունը ևս կարելի է ցանկացած չափով փոքր դարձնել։ Այստեղից էլ, 2-րդ լեմմայի համաձայն, հետևում է qn և a թվերի հավասարությունը։

Այժմ, երբ արմատի գոյությունն ապացուցված է, սովորական եղանակով սահմանվում է ցանկացած r ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի գաղափարը և ստուգվում է, որ այդպիսի աստիճանների համար իրավացի են տարրական հանրահաշվի դասընթացում արտածվող սովորական կանոնները՝

arar' = ar+r', ar / ar' = ar-r', (ar)r'=ar*r', (ab)r= ar * br, (a/b)r=ar/br և այլն։

Ընդգծենք նաև, որ երբ a>1, ar աստիճանը r ռացիոնալ ցուցիչի աճման հետ միշտ աճում է։

Free Joomla! templates by AgeThemes